Номер 352, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

352. Найдите площадь основания прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что площадь его боковой поверхности равна $S$, площадь диагонального сечения — $Q$, а высота — $h$.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота равна $h$. Площадь основания, которую нам нужно найти, равна $S_{осн} = ab$.

Площадь боковой поверхности $S$ прямоугольного параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту:

$S = P_{осн} \cdot h = 2(a+b)h$

Из этой формулы выразим сумму сторон основания:

$a+b = \frac{S}{2h}$

Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда — это прямоугольник, сторонами которого являются высота $h$ и диагональ основания $d$. Площадь этого сечения по условию равна $Q$.

$Q = d \cdot h$

Отсюда мы можем выразить диагональ основания:

$d = \frac{Q}{h}$

Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. По теореме Пифагора, квадрат его диагонали равен сумме квадратов сторон:

$d^2 = a^2 + b^2$

Подставим в это равенство найденное выражение для $d$:

$(\frac{Q}{h})^2 = a^2 + b^2 \implies a^2+b^2 = \frac{Q^2}{h^2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a+b = \frac{S}{2h} \\ a^2+b^2 = \frac{Q^2}{h^2} \end{cases}$

Для нахождения площади основания $ab$ воспользуемся известным алгебраическим тождеством:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Выразим $2ab$ из этого тождества:

$2ab = (a+b)^2 - (a^2+b^2)$

Подставим в правую часть выражения, которые мы получили ранее:

$2ab = \left(\frac{S}{2h}\right)^2 - \frac{Q^2}{h^2} = \frac{S^2}{4h^2} - \frac{Q^2}{h^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $4h^2$:

$2ab = \frac{S^2}{4h^2} - \frac{4Q^2}{4h^2} = \frac{S^2 - 4Q^2}{4h^2}$

Теперь, чтобы найти площадь основания $S_{осн} = ab$, разделим обе части на 2:

$S_{осн} = ab = \frac{S^2 - 4Q^2}{8h^2}$

Ответ: $\frac{S^2 - 4Q^2}{8h^2}$