Номер 353, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

353. В прямом параллелепипеде ребра основания равны 25 см и 39 см, а диагонали основания относятся как 28 : 17. Найдите площади диагональных сечений, учитывая, что высота параллелепипеда равна 42 см.

В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм. Пусть его стороны равны $a = 25$ см и $b = 39$ см, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$. Высота параллелепипеда $h = 42$ см.

Для любого параллелограмма справедливо свойство: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон (или удвоенной сумме квадратов двух смежных сторон). Это свойство выражается формулой: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Согласно условию задачи, диагонали основания относятся как $28:17$. Мы можем представить их длины как $d_1 = 28x$ и $d_2 = 17x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Подставим известные значения и выражения для диагоналей в формулу: $(28x)^2 + (17x)^2 = 2(25^2 + 39^2)$

Выполним вычисления: $784x^2 + 289x^2 = 2(625 + 1521)$ $1073x^2 = 2(2146)$ $1073x^2 = 4292$

Теперь решим уравнение относительно $x$: $x^2 = \frac{4292}{1073}$ $x^2 = 4$ $x = \sqrt{4} = 2$ (длина может быть только положительной)

Зная коэффициент $x$, найдем длины диагоналей основания: $d_1 = 28x = 28 \cdot 2 = 56$ см $d_2 = 17x = 17 \cdot 2 = 34$ см

Диагональные сечения прямого параллелепипеда представляют собой прямоугольники. Сторонами одного сечения являются диагональ $d_1$ и высота $h$, а сторонами другого — диагональ $d_2$ и высота $h$.

Найдем площади этих диагональных сечений, $S_1$ и $S_2$: $S_1 = d_1 \cdot h = 56 \cdot 42 = 2352$ см$^2$ $S_2 = d_2 \cdot h = 34 \cdot 42 = 1428$ см$^2$

Ответ: 2352 см$^2$ и 1428 см$^2$.