Номер 349, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

349. Плоскость проходит через вершину A правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ и пересекает ребра $B_1C_1$ и $A_1C_1$ в таких точках $M$ и $K$, что $B_1M : MC_1 = C_1K : KA_1 = 1 : 2$ (рис. 127). Найдите площадь сечения, учитывая, что сторона основания призмы равна 9, а высота призмы — 16.

Рис. 127

Для нахождения площади сечения, которое является треугольником $AMK$, мы найдем длины его сторон $AM$, $AK$ и $MK$, а затем воспользуемся формулой для площади треугольника.

Исходные данные:

• Призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильная, значит, в основании лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
• Сторона основания $AB = BC = AC = 9$.
• Высота призмы $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 16$.
• Точка $M$ на ребре $B_1C_1$ такова, что $B_1M : MC_1 = 1 : 2$.
• Точка $K$ на ребре $A_1C_1$ такова, что $C_1K : KA_1 = 1 : 2$.

1. Нахождение длины стороны MK

Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Это равносторонний треугольник со стороной 9.

Длина ребра $B_1C_1 = 9$. Так как $B_1M : MC_1 = 1 : 2$, то $MC_1 = \frac{2}{1+2} \cdot B_1C_1 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$.

Длина ребра $A_1C_1 = 9$. Так как $C_1K : KA_1 = 1 : 2$, то $C_1K = \frac{1}{1+2} \cdot A_1C_1 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.

В треугольнике $MC_1K$ известны две стороны $MC_1=6$, $C_1K=3$ и угол между ними $\angle A_1C_1B_1 = 60^\circ$ (так как треугольник $A_1B_1C_1$ равносторонний).

По теореме косинусов для треугольника $MC_1K$:

$MK^2 = MC_1^2 + C_1K^2 - 2 \cdot MC_1 \cdot C_1K \cdot \cos(60^\circ)$

$MK^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 36 + 9 - 18 = 27$

$MK = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

2. Нахождение длины стороны AK

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKK'$, где $K'$ - проекция точки $K$ на плоскость нижнего основания $ABC$. Точка $K'$ будет лежать на ребре $AC$. Высота $KK' = 16$.

Так как проекция сохраняет отношение длин отрезков на прямой, то $CK' : K'A = C_1K : KA_1 = 1 : 2$.

Следовательно, $AK' = \frac{2}{3} \cdot AC = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $AK'K$ (где $\angle AK'K = 90^\circ$):

$AK^2 = (AK')^2 + (KK')^2 = 6^2 + 16^2 = 36 + 256 = 292$

$AK = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$

3. Нахождение длины стороны AM

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $AMM'$, где $M'$ - проекция точки $M$ на плоскость нижнего основания $ABC$. Точка $M'$ будет лежать на ребре $BC$. Высота $MM' = 16$.

Отношение $BM' : M'C = B_1M : MC_1 = 1 : 2$.

Следовательно, $BM' = \frac{1}{3} \cdot BC = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.

Теперь найдем длину отрезка $AM'$ в основании, в треугольнике $ABC$. Используем теорему косинусов для треугольника $ABM'$:

$(AM')^2 = AB^2 + (BM')^2 - 2 \cdot AB \cdot BM' \cdot \cos(\angle ABC)$

$(AM')^2 = 9^2 + 3^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 81 + 9 - 2 \cdot 9 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 90 - 27 = 63$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $AM'M$ (где $\angle AM'M = 90^\circ$):

$AM^2 = (AM')^2 + (MM')^2 = 63 + 16^2 = 63 + 256 = 319$

$AM = \sqrt{319}$

4. Вычисление площади треугольника AMK

Мы нашли квадраты длин сторон треугольника $AMK$:

$MK^2 = 27$

$AK^2 = 292$

$AM^2 = 319$

Проверим, выполняется ли для этих сторон теорема Пифагора:

$AK^2 + MK^2 = 292 + 27 = 319$

Поскольку $AM^2 = AK^2 + MK^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $AMK$ является прямоугольным с гипотенузой $AM$ и катетами $AK$ и $MK$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{292} \cdot \sqrt{27} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{292 \cdot 27}$

$S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(4 \cdot 73) \cdot (9 \cdot 3)} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{36 \cdot 219} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{219} = 3\sqrt{219}$

Ответ: $3\sqrt{219}$