Номер 350, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

350. В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Плоскость, проходящая через ребро нижнего основания и середину ребра верхнего, наклонена к плоскости нижнего основания под углом $\phi$ (рис. 128). Найдите площадь этого сечения и объем призмы.

Рис. 128

Площадь сечения

Пусть дана прямая призма $ABCA'B'C'$, в основании которой лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Согласно рисунку, сечение проходит через ребро нижнего основания $AB$ и середину $M$ противолежащего бокового ребра $CC'$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $ABM$.

Площадь сечения ($S_{сеч}$) связана с площадью его ортогональной проекции на плоскость основания ($S_{пр}$) формулой $S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos\phi$, где $\phi$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Проекцией сечения $\triangle ABM$ на плоскость основания $ABC$ является сам треугольник $ABC$. Это следует из того, что точки $A$ и $B$ лежат в плоскости основания, а проекцией точки $M$ (середины ребра $CC'$) на плоскость основания является точка $C$, так как призма прямая и ребро $CC'$ перпендикулярно основанию.

Площадь основания, равностороннего треугольника $ABC$, вычисляется по формуле:$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Из формулы для площади проекции выразим площадь сечения:$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos\phi} = \frac{S_{ABC}}{\cos\phi} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos\phi}$.

Ответ: $S_{сеч} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4\cos\phi}$.

Объем призмы

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота призмы.

Площадь основания нам уже известна: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Для нахождения объема необходимо найти высоту призмы $H = CC'$. Высоту можно найти, используя данный угол $\phi$. Угол между плоскостью сечения $(ABM)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол при ребре $AB$. Его величина равна линейному углу, который мы построим.

Пусть $K$ — середина ребра $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CK$ является также и высотой, то есть $CK \perp AB$.

Так как призма прямая, боковое ребро $CC'$ перпендикулярно основанию, а значит, $CC' \perp AC$ и $CC' \perp BC$. Тогда прямоугольные треугольники $\triangle CAM$ и $\triangle CBM$ равны по двум катетам ($AC=BC=a$, $MC$ — общий катет). Следовательно, их гипотенузы равны: $AM = BM$. Это означает, что треугольник $ABM$ — равнобедренный, и его медиана $MK$, проведенная к основанию $AB$, является также и высотой ($MK \perp AB$).

Поскольку $CK \perp AB$ и $MK \perp AB$, угол $\angle CKM$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Таким образом, $\angle CKM = \phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CKM$. Так как ребро $CC'$ перпендикулярно плоскости основания, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CK$. Следовательно, $MC \perp CK$, и $\triangle CKM$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

В этом прямоугольном треугольнике:
• Катет $CK$ — высота равностороннего треугольника $ABC$: $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Катет $MC$ — половина высоты призмы: $MC = \frac{H}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:$\tan\phi = \frac{MC}{CK}$.

Отсюда выразим $MC$:$MC = CK \cdot \tan\phi = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan\phi$.

Так как $M$ — середина ребра $CC'$, высота призмы $H$ в два раза больше отрезка $MC$:$H = 2 \cdot MC = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan\phi = a\sqrt{3} \tan\phi$.

Теперь можем найти объем призмы:$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot (a\sqrt{3} \tan\phi) = \frac{a^3 \cdot (\sqrt{3})^2}{4} \tan\phi = \frac{3a^3}{4} \tan\phi$.

Ответ: $V = \frac{3a^3}{4} \tan\phi$.