Номер 356, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

356. В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковое ребро равно 5 см, а ребро основания — 6 см. Найдите площадь сечения, проведенного через:

а) ребро $AA_1$ и середину ребра $CD$;

б) ребро $AB$ основания и середину ребра $CC_1$.

а) сечения, проведенного через ребро AA₁ и середину ребра CD

Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что в основаниях лежат квадраты ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$), а боковые ребра перпендикулярны основаниям. По условию, боковое ребро $AA_1 = 5$ см, а ребро основания $AD = AB = 6$ см.

Построим сечение. Пусть $M$ — середина ребра $CD$. Тогда $DM = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. Секущая плоскость проходит через ребро $AA_1$ и точку $M$. Так как ребро $AA_1$ параллельно ребру $DD_1$, то секущая плоскость пересекает грань $CDD_1C_1$ по прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной $AA_1$. Обозначим точку пересечения этой прямой с ребром $C_1D_1$ как $M_1$. Тогда $MM_1 || AA_1$, и $M_1$ является серединой ребра $C_1D_1$.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $AA_1M_1M$. В этом четырехугольнике стороны $AA_1$ и $MM_1$ параллельны и равны, значит, $AA_1M_1M$ — параллелограмм. Поскольку призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AM$. Значит, угол $\angle A_1AM = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $AA_1M_1M$ равна произведению его смежных сторон: $S = AA_1 \cdot AM$. Длина $AA_1$ нам известна: $AA_1 = 5$ см. Найдем длину $AM$ из прямоугольного треугольника $ADM$ (угол $\angle D = 90^\circ$, так как основание — квадрат). По теореме Пифагора: $AM^2 = AD^2 + DM^2$ $AM^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$ $AM = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем площадь сечения: $S = AA_1 \cdot AM = 5 \cdot 3\sqrt{5} = 15\sqrt{5}$ см².

Ответ: $15\sqrt{5}$ см².

б) сечения, проведенного через ребро AB основания и середину ребра CC₁

Построим сечение. Пусть $N$ — середина бокового ребра $CC_1$. Тогда $CN = \frac{1}{2} CC_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$ см. Секущая плоскость проходит через ребро $AB$ и точку $N$.

Так как прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, то прямая $AB$ параллельна плоскости грани $CDD_1C_1$. Секущая плоскость проходит через прямую $AB$ и пересекает плоскость $CDD_1C_1$. Линия их пересечения должна быть параллельна $AB$. Проведем через точку $N$ прямую, параллельную $CD$ (и $AB$). Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в точке $K$. Так как $N$ — середина $CC_1$, то и $K$ будет серединой $DD_1$.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $ABNK$. В этом четырехугольнике стороны $AB$ и $KN$ параллельны ($AB || CD$, $KN || CD$) и равны ($AB=6$ см, $KN=CD=6$ см). Значит, $ABNK$ — параллелограмм.

Ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, так как $AB \perp BC$ (стороны квадрата) и $AB \perp BB_1$ (призма прямая). Следовательно, ребро $AB$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости грани $BCC_1B_1$, в том числе и прямой $BN$. Значит, угол $\angle ABN = 90^\circ$. Параллелограмм $ABNK$ с прямым углом является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $ABNK$ равна произведению его смежных сторон: $S = AB \cdot BN$. Длина $AB$ нам известна: $AB = 6$ см. Найдем длину $BN$ из прямоугольного треугольника $BCN$ (угол $\angle C = 90^\circ$, так как грань $BCC_1B_1$ — прямоугольник). По теореме Пифагора: $BN^2 = BC^2 + CN^2$ $BN^2 = 6^2 + (2,5)^2 = 36 + 6,25 = 42,25$ $BN = \sqrt{42,25} = 6,5$ см.

Теперь найдем площадь сечения: $S = AB \cdot BN = 6 \cdot 6,5 = 39$ см².

Ответ: $39$ см².