Номер 363, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

363. Каждое ребро треугольной призмы равно 2. Одно из боковых ребер образует со смежными сторонами основания углы в 60°. Найдите объем и площадь полной поверхности призмы.

Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. По условию, все ее ребра равны 2. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники со стороной $a=2$, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ также имеют длину $l=2$.

Также по условию, одно из боковых ребер, например $AA_1$, образует со смежными сторонами основания $AB$ и $AC$ углы в 60°. То есть, $\angle A_1AB = 60^\circ$ и $\angle A_1AC = 60^\circ$.

Найдите объем

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.
Основание — равносторонний треугольник со стороной $a=2$. Его площадь:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

2. Найдем высоту призмы $H$.
Для нахождения высоты введем декартову систему координат с началом в точке $A$.

• Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A(0, 0, 0)$.
• Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$. Тогда координаты точки $B$: $B(2, 0, 0)$, и вектор $\vec{AB} = (2, 0, 0)$.
• Вершина $C$ лежит в плоскости $Oxy$. Ее координаты: $C(2\cos(60^\circ), 2\sin(60^\circ), 0) = C(1, \sqrt{3}, 0)$. Вектор $\vec{AC} = (1, \sqrt{3}, 0)$.
• Пусть координаты вершины $A_1$ равны $(x, y, z)$. Тогда вектор бокового ребра $\vec{AA_1} = (x, y, z)$. Его длина равна 2, следовательно: $|\vec{AA_1}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 2^2 = 4$.

Высота призмы $H$ — это расстояние от точки $A_1$ до плоскости основания $ABC$ (плоскость $Oxy$), то есть $H = |z|$. Используем условие об углах между ребрами, чтобы найти $x$, $y$ и $z$.

• Угол между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB}$ равен 60°. Найдем их скалярное произведение: $\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(60^\circ)$
  $(x, y, z) \cdot (2, 0, 0) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$
  $2x = 2 \implies x=1$.
• Угол между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{AC}$ равен 60°. Найдем их скалярное произведение: $\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ)$
  $(x, y, z) \cdot (1, \sqrt{3}, 0) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$
  $x + y\sqrt{3} = 2$.

Подставим найденное значение $x=1$ во второе уравнение:$1 + y\sqrt{3} = 2 \implies y\sqrt{3} = 1 \implies y = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь найдем $z$ из уравнения длины вектора $\vec{AA_1}$:$x^2 + y^2 + z^2 = 4$
$1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + z^2 = 4$
$1 + \frac{3}{9} + z^2 = 4 \implies 1 + \frac{1}{3} + z^2 = 4 \implies \frac{4}{3} + z^2 = 4$
$z^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \implies z = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
Таким образом, высота призмы $H = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

3. Вычислим объем призмы.
$V = S_{осн} \cdot H = \sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{18}}{3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

Найдите площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

1. Площадь двух оснований.
Площадь одного основания $S_{осн} = \sqrt{3}$. Значит, площадь двух оснований $2S_{осн} = 2\sqrt{3}$.

2. Площадь боковой поверхности.
$S_{бок}$ — это сумма площадей трех боковых граней, каждая из которых является параллелограммом со сторонами 2.

• Грань $AA_1B_1B$. Это параллелограмм со сторонами $AB=2$ и $AA_1=2$ и углом между ними $\angle A_1AB = 60^\circ$. Следовательно, это ромб. Его площадь: $S_{AA_1B_1B} = AB \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AB) = 2 \cdot 2 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
• Грань $AA_1C_1C$. Это параллелограмм со сторонами $AC=2$ и $AA_1=2$ и углом между ними $\angle A_1AC = 60^\circ$. Это также ромб, и его площадь: $S_{AA_1C_1C} = AC \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AC) = 2 \cdot 2 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
• Грань $BB_1C_1C$. Это параллелограмм со сторонами $BC=2$ и $BB_1=AA_1=2$. Чтобы найти его площадь, определим, является ли он прямоугольником. Для этого проверим перпендикулярность смежных сторон, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$. Из предыдущих вычислений имеем: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = (1, \sqrt{3}, 0) - (2, 0, 0) = (-1, \sqrt{3}, 0)$.
  $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = (1, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3})$.
  $\vec{BC} \cdot \vec{BB_1} = (-1) \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 0 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} = -1 + \frac{3}{3} + 0 = -1 + 1 = 0$.
  Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Значит, грань $BB_1C_1C$ — прямоугольник. Поскольку все стороны равны 2, это квадрат. Площадь квадрата: $S_{BB_1C_1C} = BC^2 = 2^2 = 4$.

Суммарная площадь боковой поверхности:$S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{AA_1C_1C} + S_{BB_1C_1C} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 4 = 4\sqrt{3} + 4$.

3. Вычислим площадь полной поверхности.
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\sqrt{3} + (4\sqrt{3} + 4) = 6\sqrt{3} + 4$.

Ответ: $6\sqrt{3} + 4$.