Номер 366, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

366. В правильной треугольной призме $LMNL_1M_1N_1$ боковое ребро составляет 4,5 ребра основания. На боковых ребрах $LL_1$, $MM_1$ и $NN_1$ взяты точки $B, C$ и $D$ соответственно, причем $LB : BL_1 = 2 : 7$, $MC : CM_1 = 6 : 3$, $ND : DN_1 = 4 : 5$. Найдите величину двугранного угла между плоскостями $BCD$ и $LMN$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$. Тогда боковое ребро (высота призмы) $h$ равно $4,5a = \frac{9}{2}a$.

Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $L$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $LM$, ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $LL_1$. Так как основание $LMN$ — правильный треугольник со стороной $a$, его высота равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Координаты вершин основания $LMN$ будут следующими:

• $L(0, 0, 0)$
• $M(a, 0, 0)$
• $N(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Плоскость $LMN$ совпадает с плоскостью $Oxy$, и ее уравнение $z=0$. Нормальный вектор к этой плоскости $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$.

Найдем координаты точек $B, C, D$.

• Точка $B$ лежит на ребре $LL_1$. Из условия $LB : BL_1 = 2:7$, следует, что $LB = \frac{2}{2+7} LL_1 = \frac{2}{9}h$.
  $z_B = \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2}a = a$. Координаты точки $B(0, 0, a)$.
• Точка $C$ лежит на ребре $MM_1$. Из условия $MC : CM_1 = 6:3 = 2:1$, следует, что $MC = \frac{6}{6+3} MM_1 = \frac{2}{3}h$.
  $z_C = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2}a = 3a$. Координаты точки $C(a, 0, 3a)$.
• Точка $D$ лежит на ребре $NN_1$. Из условия $ND : DN_1 = 4:5$, следует, что $ND = \frac{4}{4+5} NN_1 = \frac{4}{9}h$.
  $z_D = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2}a = 2a$. Координаты точки $D(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a)$.

Теперь найдем нормальный вектор $\vec{n}_2$ к плоскости $BCD$. Для этого найдем координаты векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (a-0; 0-0; 3a-a) = (a, 0, 2a)$

$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B) = (\frac{a}{2}-0; \frac{a\sqrt{3}}{2}-0; 2a-a) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$

Нормальный вектор $\vec{n}_2$ является векторным произведением векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{n}_2 = \vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 2a \\ \frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 2a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(a \cdot a - 2a \cdot \frac{a}{2}) + \mathbf{k}(a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{a}{2})$

$\vec{n}_2 = \mathbf{i}(-a^2\sqrt{3}) - \mathbf{j}(a^2 - a^2) + \mathbf{k}(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}) = (-a^2\sqrt{3}, 0, \frac{a^2\sqrt{3}}{2})$

Для удобства в качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор, разделив на $-a^2\sqrt{3}$: $\vec{n}_2' = (1, 0, -\frac{1}{2})$.

Угол $\alpha$ между плоскостями $BCD$ и $LMN$ равен углу между их нормальными векторами $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$ и $\vec{n}_2' = (1, 0, -\frac{1}{2})$. Найдем косинус этого угла:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2'|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2'|}$

Скалярное произведение:

$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2' = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

Модули векторов:

$|\vec{n}_1| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$

$|\vec{n}_2'| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Подставляем значения в формулу косинуса:

$\cos \alpha = \frac{|-\frac{1}{2}|}{1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Следовательно, искомый угол $\alpha = \arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})$ или $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.