Номер 368, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

368. В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной 6. Диагонали боковой грани равны 12 и $8\sqrt{2}$ (рис. 134). Найдите объем призмы, учитывая, что боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

Рис. 134

Для нахождения объема призмы воспользуемся формулой:

$ V = S_{осн} \cdot H $

где $S_{осн}$ - площадь основания, а $H$ - высота призмы. Решение задачи разобьем на несколько шагов.

1. Нахождение площади основания

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a=6$. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

$ S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} $

Подставим значение стороны $a=6$ в формулу:

$ S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18 \cdot \sqrt{3} = 54\sqrt{3} $

2. Нахождение длины бокового ребра

Боковая грань призмы является параллелограммом. Пусть это будет грань $ABB_1A_1$. Ее стороны — это сторона основания $AB = a = 6$ и боковое ребро $AA_1 = l$. Диагонали этой грани по условию равны $d_1 = 12$ и $d_2 = 8\sqrt{2}$.

Для любого параллелограмма справедливо свойство: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$ d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + l^2) $

Подставим известные значения и найдем длину бокового ребра $l$:

$ 12^2 + (8\sqrt{2})^2 = 2(6^2 + l^2) $

$ 144 + 64 \cdot 2 = 2(36 + l^2) $

$ 144 + 128 = 72 + 2l^2 $

$ 272 = 72 + 2l^2 $

$ 2l^2 = 272 - 72 $

$ 2l^2 = 200 $

$ l^2 = 100 $

$ l = 10 $

Таким образом, длина бокового ребра равна 10.

3. Нахождение высоты призмы

По условию, боковое ребро $l$ образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Высота призмы $H$ — это катет в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является боковое ребро $l=10$. Угол, противолежащий высоте $H$, равен $60^{\circ}$.

Следовательно, высоту можно найти через синус этого угла:

$ H = l \cdot \sin(60^{\circ}) $

Подставим значения $l$ и $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$ H = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} $

4. Вычисление объема призмы

Теперь, зная площадь основания $S_{осн} = 54\sqrt{3}$ и высоту $H = 5\sqrt{3}$, мы можем вычислить объем призмы:

$ V = S_{осн} \cdot H = 54\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} $

$ V = 54 \cdot 5 \cdot (\sqrt{3})^2 = 270 \cdot 3 = 810 $

Ответ: 810.