Номер 371, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

371. Одна из вершин параллелепипеда является общей вершиной острых углов равных ромбов-граней. Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что диагонали граней равны 6 см и 8 см.

Данный параллелепипед, все грани которого являются равными ромбами, называется ромбоэдром. Все его ребра равны между собой. Обозначим длину ребра через $a$.

Сначала найдем параметры ромба, который является гранью параллелепипеда. Диагонали ромба, $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см, перпендикулярны и делят друг друга пополам в точке пересечения. Сторону ромба $a$ можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

По условию, одна из вершин параллелепипеда является общей вершиной острых углов трех смежных граней-ромбов. Обозначим этот острый угол через $\alpha$. В ромбе меньшая диагональ ($d_1 = 6$ см) лежит напротив острого угла. Применим теорему косинусов к треугольнику, образованному двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos\alpha$

Подставим известные значения $a=5$ и $d_1=6$:

$6^2 = 2 \cdot 5^2 (1 - \cos\alpha)$

$36 = 50(1 - \cos\alpha)$

$1 - \cos\alpha = \frac{36}{50} = \frac{18}{25}$

Отсюда $\cos\alpha = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$.

Объем параллелепипеда, образованного тремя векторами одинаковой длины $a$, исходящими из одной вершины под одинаковыми углами $\alpha$ друг к другу, можно вычислить по формуле:

$V = a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha}$

Эту формулу можно упростить, разложив подкоренное выражение на множители: $1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha = (1-\cos\alpha)^2(1+2\cos\alpha)$. Тогда:

$V = a^3 \sqrt{(1-\cos\alpha)^2(1+2\cos\alpha)} = a^3 |1-\cos\alpha| \sqrt{1+2\cos\alpha}$.

Поскольку $\alpha$ — острый угол, $\cos\alpha < 1$ и $1-\cos\alpha > 0$. Следовательно:

$V = a^3 (1-\cos\alpha) \sqrt{1+2\cos\alpha}$.

Подставим найденные значения $a=5$, $1-\cos\alpha = \frac{18}{25}$ и $\cos\alpha = \frac{7}{25}$ в формулу объема:

$V = 5^3 \cdot \frac{18}{25} \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \frac{7}{25}} = 125 \cdot \frac{18}{25} \cdot \sqrt{1 + \frac{14}{25}} = 125 \cdot \frac{18}{25} \cdot \sqrt{\frac{39}{25}} = 125 \cdot \frac{18}{25} \cdot \frac{\sqrt{39}}{5}$.

Выполним вычисления:

$V = \frac{125 \cdot 18 \cdot \sqrt{39}}{25 \cdot 5} = \frac{125 \cdot 18 \cdot \sqrt{39}}{125} = 18\sqrt{39}$ см$^3$.

Ответ: $18\sqrt{39}$ см$^3$.