Номер 372, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

372. В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой $AB$, равной 40 см, и острым углом $15^\circ$ (рис. 135). Найдите объем призмы, учитывая, что углы $CC_1A$ и $CC_1B$ вместе составляют прямой угол.

Рис. 135

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ (пусть $\angle C = 90^\circ$) с гипотенузой $AB = 40$ см и острым углом, например, $\angle A = 15^\circ$. Катеты этого треугольника можно выразить через гипотенузу и угол:

$AC = AB \cdot \cos(15^\circ) = 40\cos(15^\circ)$

$BC = AB \cdot \sin(15^\circ) = 40\sin(15^\circ)$

Площадь основания $S_{осн}$ равна половине произведения катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} (40\cos(15^\circ))(40\sin(15^\circ)) = \frac{1600}{2} \sin(15^\circ)\cos(15^\circ) = 800 \sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $, из которой следует $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

$S_{осн} = 800 \cdot \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = 400 \sin(30^\circ) = 400 \cdot \frac{1}{2} = 200$ см$^2$.

2. Нахождение высоты призмы

Поскольку призма прямая, ее высота $H$ равна длине бокового ребра $CC_1$. Рассмотрим треугольники $\triangle AC_1C$ и $\triangle BC_1C$. Они являются прямоугольными, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, а значит и прямым $AC$ и $BC$.

Из этих треугольников выразим тангенсы углов $\angle AC_1C$ и $\angle BC_1C$ (в условии они названы $CC_1A$ и $CC_1B$):

$\tan(\angle AC_1C) = \frac{AC}{CC_1}$

$\tan(\angle BC_1C) = \frac{BC}{CC_1}$

По условию $\angle AC_1C + \angle BC_1C = 90^\circ$. Пусть $\alpha = \angle AC_1C$ и $\beta = \angle BC_1C$. Из условия $\alpha + \beta = 90^\circ$ следует, что $\beta = 90^\circ - \alpha$, и $\tan(\beta) = \tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$.

Подставим выражения для тангенсов:

$\frac{BC}{CC_1} = \frac{1}{AC/CC_1} \implies \frac{BC}{CC_1} = \frac{CC_1}{AC} \implies CC_1^2 = AC \cdot BC$.

Произведение катетов $AC \cdot BC$ можно найти из площади основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC \implies AC \cdot BC = 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot 200 = 400$ см$^2$.

Таким образом, высота призмы $H = CC_1 = \sqrt{AC \cdot BC} = \sqrt{400} = 20$ см.

3. Вычисление объема призмы

Зная площадь основания и высоту, находим объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 200 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = 4000$ см$^3$.

Ответ: $4000$ см$^3$.