Номер 377, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

377. В правильной треугольной призме через середину бокового ребра длиной 8 см и противоположное ребро основания проведена плоскость под углом 45° к плоскости основания (рис. 136). Найдите площадь сечения и площадь основания.

Рис. 136

Пусть дана правильная треугольная призма, основанием которой является равносторонний треугольник $\triangle DBC$. Боковые ребра призмы перпендикулярны плоскости основания. Длина бокового ребра (высоты призмы) составляет 8 см. На рисунке это ребро $DD_1$.

Секущая плоскость проходит через середину бокового ребра (пусть это будет точка $M$ на ребре $DD_1$) и противолежащее ребро основания $BC$. Сечением является треугольник $\triangle MBC$.

Так как $M$ — середина $DD_1$, то ее расстояние до плоскости основания $MD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Угол между плоскостью сечения ($MBC$) и плоскостью основания ($DBC$) равен $45^\circ$. Чтобы найти линейный угол этого двугранного угла, проведем высоту и медиану $DH$ в равностороннем треугольнике $\triangle DBC$ к стороне $BC$. Таким образом, $DH \perp BC$.

Так как призма правильная, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и отрезку $DH$ в этой плоскости. Следовательно, $\triangle MDH$ — прямоугольный ($\angle MDH = 90^\circ$). $DH$ является проекцией наклонной $MH$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $DH$ перпендикулярна $BC$, то и наклонная $MH$ перпендикулярна $BC$.

Следовательно, угол $\angle MHD$ и есть линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, то есть $\angle MHD = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MDH$ катет $MD = 4$ см и $\angle MHD = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle MDH$ является равнобедренным, и второй катет $DH = MD = 4$ см. $DH$ — это высота треугольника в основании.

Площадь сечения

Площадь сечения — это площадь треугольника $\triangle MBC$. Его основание — $BC$, а высота — $MH$.

Найдем длину высоты сечения $MH$ из прямоугольного треугольника $\triangle MDH$ по теореме Пифагора:

$MH^2 = MD^2 + DH^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$MH = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем длину стороны основания $BC$. Так как $DH$ — высота в равностороннем треугольнике со стороной $a=BC$, то $DH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$4 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{6}}{3}$ см².

Ответ: $\frac{16\sqrt{6}}{3} \text{ см}^2$.

Площадь основания

Площадь основания — это площадь равностороннего треугольника $\triangle DBC$. Мы уже нашли его сторону $a = BC = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см и высоту $DH = 4$ см.

Вычислим площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot 4 = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см².

Ответ: $\frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2$.