Номер 375, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

375. Найдите объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом $ \alpha $, учитывая, что боковое ребро призмы равно $ l $ и образует с диагональю большей боковой грани угол $ \beta $.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Так как призма прямая, ее высота $H$ равна длине бокового ребра $l$, то есть $H=l$.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу — $c$. Площадь такого треугольника (основания призмы) равна $S_{осн} = \frac{1}{2}ab$. Наша задача — выразить $a$ и $b$ через известные величины $l$, $\alpha$ и $\beta$.

Боковые грани прямой призмы — это прямоугольники. Площадь боковой грани равна произведению стороны основания на высоту призмы $l$. Следовательно, большей боковой грани соответствует наибольшая сторона основания. В прямоугольном треугольнике наибольшей стороной является гипотенуза $c$. Таким образом, большая боковая грань — это прямоугольник со сторонами $c$ и $l$.

Рассмотрим эту большую боковую грань. Она представляет собой прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника, его сторона, равная боковому ребру $l$, и его сторона, равная гипотенузе основания $c$, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике стороны $l$ и $c$ являются катетами. По условию задачи, угол между боковым ребром $l$ (катетом) и диагональю (гипотенузой этого треугольника) равен $\beta$.

Из определения тангенса в этом прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{c}{l}$

Отсюда выразим гипотенузу основания $c$:

$c = l \cdot \tan(\beta)$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику в основании призмы. Мы знаем его гипотенузу $c$ и один из острых углов $\alpha$. Катеты этого треугольника можно выразить через гипотенузу и угол $\alpha$:

$a = c \cdot \sin(\alpha)$

$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Подставим в эти выражения найденное значение $c$:

$a = l \cdot \tan(\beta) \cdot \sin(\alpha)$

$b = l \cdot \tan(\beta) \cdot \cos(\alpha)$

Теперь мы можем найти площадь основания призмы:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} (l \cdot \tan(\beta) \cdot \sin(\alpha)) \cdot (l \cdot \tan(\beta) \cdot \cos(\alpha)) = \frac{1}{2} l^2 \tan^2(\beta) \sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, откуда $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} l^2 \tan^2(\beta) \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{1}{4} l^2 \tan^2(\beta) \sin(2\alpha)$

Наконец, вычислим объем призмы, подставив найденную площадь основания и высоту $H=l$ в исходную формулу:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{4} l^2 \tan^2(\beta) \sin(2\alpha)\right) \cdot l = \frac{1}{4} l^3 \tan^2(\beta) \sin(2\alpha)$

Ответ: $V = \frac{1}{4} l^3 \tan^2(\beta) \sin(2\alpha)$