Номер 374, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

374. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом $\alpha$. Боковая сторона трапеции и ее меньшее основание равны. Найдите объем призмы, учитывая, что диагональ призмы равна $a$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Пусть диагональ призмы равна $D = a$. Она образует с плоскостью основания угол $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы $D$, ее проекцией на плоскость основания (которая является диагональю основания $d$) и высотой призмы $H$. В этом треугольнике катет $H$ противолежит углу $\beta$, а катет $d$ прилежит к нему. Следовательно:

Высота призмы: $H = D \cdot \sin(\beta) = a \sin(\beta)$.

Диагональ основания: $d = D \cdot \cos(\beta) = a \cos(\beta)$.

Далее найдем площадь основания. Основанием является равнобедренная трапеция с острым углом $\alpha$. По условию, боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Обозначим длину боковой стороны и меньшего основания как $c$.

Проведем в трапеции высоту $h_{тр}$. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h_{тр}$ и отрезком на большем основании, находим:

$h_{тр} = c \sin(\alpha)$.

Отрезок, отсекаемый высотой на большем основании, равен $c \cos(\alpha)$. Тогда большее основание трапеции равно $b_{бол} = c + 2(c \cos(\alpha)) = c(1 + 2\cos(\alpha))$.

Площадь основания (трапеции) равна:

$S_{осн} = \frac{c + c(1 + 2\cos(\alpha))}{2} \cdot c \sin(\alpha) = \frac{c(2 + 2\cos(\alpha))}{2} \cdot c \sin(\alpha) = c^2 \sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))$.

Теперь выразим $c$ через известные величины. Для этого воспользуемся найденной ранее диагональю трапеции $d$. Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной $c$, меньшим основанием $c$ и диагональю $d$. Угол между боковой стороной и меньшим основанием равен тупому углу трапеции, то есть $180^\circ - \alpha$. По теореме косинусов:

$d^2 = c^2 + c^2 - 2 \cdot c \cdot c \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 2c^2 - 2c^2(-\cos(\alpha)) = 2c^2(1 + \cos(\alpha))$.

Мы получили два выражения для квадрата диагонали основания:

$d^2 = (a \cos(\beta))^2 = a^2 \cos^2(\beta)$

$d^2 = 2c^2(1 + \cos(\alpha))$

Приравняв их, получим: $a^2 \cos^2(\beta) = 2c^2(1 + \cos(\alpha))$.

Отсюда выразим $c^2$:

$c^2 = \frac{a^2 \cos^2(\beta)}{2(1 + \cos(\alpha))}$.

Подставим это выражение для $c^2$ в формулу площади основания:

$S_{осн} = \frac{a^2 \cos^2(\beta)}{2(1 + \cos(\alpha))} \cdot \sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha)) = \frac{a^2 \sin(\alpha) \cos^2(\beta)}{2}$.

Наконец, найдем объем призмы, подставив выражения для $S_{осн}$ и $H$ в исходную формулу:

$V = S_{осн} \cdot H = \left( \frac{a^2 \sin(\alpha) \cos^2(\beta)}{2} \right) \cdot (a \sin(\beta)) = \frac{1}{2} a^3 \sin(\alpha) \sin(\beta) \cos^2(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{2} a^3 \sin(\alpha) \sin(\beta) \cos^2(\beta)$.