Номер 369, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

369. Боковая поверхность треугольной призмы равна $100 \text{ см}^2$, а попарные расстояния между боковыми ребрами — $4 \text{ см}$, $5 \text{ см}$ и $7 \text{ см}$. Найдите объем призмы.

Для решения задачи воспользуемся свойством призмы, согласно которому объем призмы равен произведению площади ее перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Перпендикулярное сечение — это многоугольник, полученный пересечением призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. В данном случае попарные расстояния между боковыми ребрами являются сторонами треугольника, который и представляет собой перпендикулярное сечение призмы.

Обозначим стороны перпендикулярного сечения как $a = 4$ см, $b = 5$ см и $c = 7$ см. Длину бокового ребра обозначим как $l$.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) можно вычислить по формуле:$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения.

Сначала найдем периметр перпендикулярного сечения:$P_{\perp} = a + b + c = 4 + 5 + 7 = 16$ см.

Из условия известно, что $S_{бок} = 100 \text{ см}^2$. Используя формулу для площади боковой поверхности, найдем длину бокового ребра $l$:$100 = 16 \cdot l$$l = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6,25$ см.

Теперь найдем площадь перпендикулярного сечения ($S_{\perp}$). Так как мы знаем все три стороны треугольника, воспользуемся формулой Герона:$S_{\perp} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$где $p$ — полупериметр треугольника.$p = \frac{P_{\perp}}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Подставим значения в формулу:$S_{\perp} = \sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \text{ см}^2$.

Наконец, вычислим объем призмы ($V$) по формуле:$V = S_{\perp} \cdot l$$V = 4\sqrt{6} \cdot \frac{25}{4} = 25\sqrt{6} \text{ см}^3$.

Ответ: $25\sqrt{6} \text{ см}^3$.