Номер 364, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

364. Высота правильной треугольной призмы равна 2 см, а расстояние от вершины одного основания до ортоцентра другого — 4 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — основания. Высота призмы $h = 2$ см. В основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник. Обозначим сторону основания через $a$.

Ортоцентр правильного треугольника (точка пересечения его высот) совпадает с его центром тяжести, центром вписанной и центром описанной окружностей. Обозначим ортоцентр верхнего основания $A_1B_1C_1$ точкой $O_1$.

Согласно условию, расстояние от вершины одного основания (например, $A$) до ортоцентра другого основания ($O_1$) составляет 4 см. Таким образом, длина отрезка $AO_1 = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $A$, ортоцентром $O_1$ и проекцией $O_1$ на плоскость нижнего основания. Эта проекция будет совпадать с центром $O$ нижнего основания $ABC$. В получившемся треугольнике $\triangle AOO_1$:

• гипотенуза $AO_1 = 4$ см;
• катет $OO_1$ равен высоте призмы $h = 2$ см;
• катет $AO$ — это расстояние от вершины $A$ до центра $O$ равностороннего треугольника $ABC$, что равно радиусу $R$ описанной около него окружности.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle AOO_1$:
$AO_1^2 = AO^2 + OO_1^2$
Подставим известные значения:
$4^2 = AO^2 + 2^2$
$16 = AO^2 + 4$
$AO^2 = 12$
$AO = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ или $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Поскольку $AO = R$, мы можем найти сторону $a$:
$2\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
$a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности призмы, которая складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь одного основания (равностороннего треугольника со стороной $a=6$ см) равна:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы:
$P_{осн} = 3a = 3 \cdot 6 = 18$ см.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \cdot 2 = 36$ см².

Находим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 36 = 18\sqrt{3} + 36$ см².

Ответ: $18\sqrt{3} + 36$ см².