Номер 365, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

365. В правильной треугольной призме $BCDB_1C_1D_1$ ребро основания составляет 0,6 бокового ребра. На боковых ребрах $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ взяты точки L, M и N соответственно, причем $BL : LB_1 = 3 : 2$, $CM : MC_1 = 2 : 3$, $DN : ND_1 = 1 : 4$ (рис. 133). Найдите величину двугранного угла между плоскостями LMN и BCD.

Рис. 133

Для нахождения величины двугранного угла между плоскостями $LMN$ и $BCD$ воспользуемся методом координат. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания является углом наклона плоскости сечения к горизонтальной плоскости.

1. Введение системы координат.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ призмы совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребро $DC$ лежит на оси $Ox$, а боковое ребро $DD_1$ — на оси $Oz$. Тогда плоскость основания $BCD$ совпадает с плоскостью $Oxy$.

2. Определение параметров и координат вершин.

Пусть длина бокового ребра призмы (высота) равна $h$. Тогда, по условию, ребро основания $a$ составляет $0,6$ бокового ребра, то есть $a = 0.6h = \frac{3}{5}h$.

Так как призма правильная, в основании лежит равносторонний треугольник $BCD$. Определим координаты его вершин:

• $D = (0, 0, 0)$
• $C = (a, 0, 0)$
• Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, координаты вершины $B$: $B = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Определение координат точек $L$, $M$, $N$.

Точки $L, M, N$ лежат на боковых ребрах $BB_1, CC_1, DD_1$ соответственно. Их аппликаты (координаты по оси $z$) определяются из заданных пропорций:

• Точка $N$ на ребре $DD_1$: $DN : ND_1 = 1:4 \implies DN = \frac{1}{1+4}DD_1 = \frac{1}{5}h$. Координаты $N = (0, 0, \frac{h}{5})$.
• Точка $M$ на ребре $CC_1$: $CM : MC_1 = 2:3 \implies CM = \frac{2}{2+3}CC_1 = \frac{2}{5}h$. Координаты $M = (a, 0, \frac{2h}{5})$.
• Точка $L$ на ребре $BB_1$: $BL : LB_1 = 3:2 \implies BL = \frac{3}{3+2}BB_1 = \frac{3}{5}h$. Координаты $L = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3h}{5})$.

4. Нахождение уравнения плоскости $LMN$.

Уравнение плоскости, не перпендикулярной плоскости $Oxy$, можно записать в виде $z = k_x x + k_y y + c$. Найдем коэффициенты $k_x, k_y, c$, подставив в уравнение координаты точек $L, M, N$.

• Из координат точки $N(0, 0, \frac{h}{5})$: $\frac{h}{5} = k_x \cdot 0 + k_y \cdot 0 + c \implies c = \frac{h}{5}$.
• Из координат точки $M(a, 0, \frac{2h}{5})$: $\frac{2h}{5} = k_x \cdot a + k_y \cdot 0 + \frac{h}{5} \implies k_x a = \frac{h}{5} \implies k_x = \frac{h}{5a}$.
• Из координат точки $L(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3h}{5})$: $\frac{3h}{5} = k_x \cdot \frac{a}{2} + k_y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{h}{5}$.
  Подставим $k_x$: $\frac{2h}{5} = (\frac{h}{5a}) \frac{a}{2} + k_y \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies \frac{2h}{5} = \frac{h}{10} + k_y \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
  $\frac{4h}{10} - \frac{h}{10} = k_y \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies \frac{3h}{10} = k_y \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
  $k_y = \frac{3h}{10} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{3h}{5a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}h}{5a}$.

5. Вычисление угла.

Двугранный угол $\alpha$ между плоскостью $LMN$ и плоскостью основания $BCD$ (плоскость $Oxy$) — это угол наклона плоскости $LMN$. Тангенс этого угла равен модулю градиента функции $z(x,y)$, то есть $\tan(\alpha) = \sqrt{k_x^2 + k_y^2}$.

$\tan(\alpha) = \sqrt{(\frac{h}{5a})^2 + (\frac{\sqrt{3}h}{5a})^2} = \sqrt{\frac{h^2}{25a^2} + \frac{3h^2}{25a^2}} = \sqrt{\frac{4h^2}{25a^2}} = \frac{2h}{5a}$.

Из условия задачи $a = \frac{3}{5}h$, откуда $\frac{h}{a} = \frac{5}{3}$. Подставим это соотношение в выражение для тангенса:

$\tan(\alpha) = \frac{2}{5} \cdot (\frac{h}{a}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2}{3}$.

Следовательно, искомая величина двугранного угла $\alpha$ равна $\arctan(\frac{2}{3})$.

Ответ: $\arctan(\frac{2}{3})$.