Номер 361, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

361. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы, равная 6, образует угол $30^\circ$ с плоскостью другой боковой грани (рис. 132). Найдите объем призмы.

Рис. 132

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники, а боковые грани — прямоугольники. Обозначим сторону основания как $a$, а высоту призмы (боковое ребро) как $h$.

1. Анализ условия и построение
По условию, диагональ боковой грани равна 6. Пусть это будет диагональ $AB_1$ грани $ABB_1A_1$, тогда $AB_1 = 6$.
Эта диагональ образует угол $30^\circ$ с плоскостью другой боковой грани, например, с плоскостью $(ACC_1A_1)$.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Чтобы найти проекцию наклонной $AB_1$ на плоскость $(ACC_1A_1)$, нужно из точки $B_1$ опустить перпендикуляр на эту плоскость.
Так как призма правильная (а значит, прямая), плоскость основания $(A_1B_1C_1)$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(ACC_1A_1)$. Поэтому перпендикуляр из точки $B_1$ на плоскость $(ACC_1A_1)$ будет лежать в плоскости основания. Проведём в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ высоту $B_1H$ к стороне $A_1C_1$. Таким образом, $B_1H \perp A_1C_1$. Поскольку $B_1H$ лежит в плоскости основания, а боковая грань ей перпендикулярна, то $B_1H$ является перпендикуляром ко всей плоскости $(ACC_1A_1)$.
Тогда $AH$ — это проекция $AB_1$ на плоскость $(ACC_1A_1)$, а угол $\angle B_1AH$ — это и есть заданный угол, равный $30^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1H$. Он прямоугольный, так как $B_1H$ — перпендикуляр к плоскости, в которой лежит прямая $AH$.

2. Нахождение стороны основания призмы
В прямоугольном треугольнике $\triangle AB_1H$ катет $B_1H$ лежит напротив угла в $30^\circ$. Следовательно, он равен половине гипотенузы $AB_1$.
$B_1H = AB_1 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.
$B_1H$ — это высота равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$ со стороной $a$. Формула высоты равностороннего треугольника: $h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Приравняем полученное значение:
$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 3$
$a\sqrt{3} = 6$
$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
Таким образом, сторона основания призмы $a = 2\sqrt{3}$.

3. Нахождение высоты призмы
Диагональ $AB_1=6$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle AA_1B$ (так как боковая грань — прямоугольник). Катеты этого треугольника — сторона основания $A_1B=a=2\sqrt{3}$ и высота призмы $AA_1=h$.
По теореме Пифагора:
$AB_1^2 = (A_1B)^2 + (AA_1)^2$
$6^2 = (2\sqrt{3})^2 + h^2$
$36 = 4 \cdot 3 + h^2$
$36 = 12 + h^2$
$h^2 = 36 - 12 = 24$
$h = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
Высота призмы $h = 2\sqrt{6}$.

4. Вычисление объема призмы
Объем призмы находится по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.
Сначала найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание — равносторонний треугольник со стороной $a = 2\sqrt{3}$.
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.
Теперь вычислим объем:
$V = S_{осн} \cdot h = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{3 \cdot 6} = 6\sqrt{18}$.
Упростим корень: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.
$V = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$.

Ответ: $18\sqrt{2}$.