Номер 379, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

379. В правильной треугольной призме боковое ребро равно $2\sqrt{3}$, а ребро основания — 8. Сечение призмы проведено через вершину под углом $45^\circ$ к плоскости основания параллельно стороне. Найдите площади поверхностей образованных тел-частей.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — основания. По условию, ребро основания $a = AB = BC = CA = 8$, а боковое ребро (высота призмы) $h = AA_1 = 2\sqrt{3}$. Основания призмы — равносторонние треугольники.

Сечение проведено через вершину (пусть это будет вершина $A_1$ верхнего основания) параллельно стороне основания (пусть это будет сторона $BC$ нижнего основания) под углом $45^\circ$ к плоскости основания. Так как плоскость сечения параллельна $BC$, она пересекает плоскость нижнего основания по прямой $KL$, параллельной $BC$, где точки $K$ и $L$ лежат на ребрах $AB$ и $AC$ соответственно. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $A_1KL$.

Угол между плоскостью сечения $(A_1KL)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол при их линии пересечения $KL$. Для его измерения построим линейный угол. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Так как $KL \parallel BC$, то $AH \perp KL$. Пусть $P$ — точка пересечения $AH$ и $KL$. Тогда $AP \perp KL$. В треугольнике $A_1KL$ проведем высоту $A_1P$ к стороне $KL$ (так как $\triangle A_1AK \cong \triangle A_1AL$, то $\triangle A_1KL$ равнобедренный, и высота из $A_1$ падает в середину $KL$).Угол $\angle A_1PA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle A_1PA = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AP$ (угол $\angle A_1AP = 90^\circ$, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию).Мы знаем катет $AA_1 = h = 2\sqrt{3}$. Из треугольника $A_1AP$:$AP = \frac{AA_1}{\tan(45^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{1} = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдем положение прямой $KL$. Высота основания $AH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=8$ равна:$AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$. Поскольку точка $P$ лежит на $AH$ и $AP = 2\sqrt{3}$, то $P$ является серединой высоты $AH$. Треугольник $AKL$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{AP}{AH} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. Следовательно, стороны треугольника $AKL$:$KL = k \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.$AK = AL = k \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

Сечение $A_1KL$ делит призму на два тела: меньшее — тетраэдр $A_1AKL$, и большее — оставшаяся часть призмы. Найдем площади поверхностей каждого из этих тел.

Поверхность этого тела состоит из четырех треугольных граней: $AKL$, $A_1AK$, $A_1AL$ и $A_1KL$.1. Площадь грани $AKL$ (часть основания призмы). Это равносторонний треугольник со стороной 4.$S_{AKL} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$.

2. Площадь граней $A_1AK$ и $A_1AL$ (части боковых граней призмы). Это два равных прямоугольных треугольника с катетами $AK=4$ (или $AL=4$) и $AA_1 = 2\sqrt{3}$.$S_{A_1AK} = S_{A_1AL} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

3. Площадь сечения $A_1KL$. Это равнобедренный треугольник с основанием $KL=4$. Его высота $A_1P$ находится из прямоугольного треугольника $A_1AP$:$A_1P = \frac{AA_1}{\sin(45^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}/2} = 2\sqrt{6}$.$S_{A_1KL} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot A_1P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.

4. Общая площадь поверхности меньшей части:$S_1 = S_{AKL} + S_{A_1AK} + S_{A_1AL} + S_{A_1KL} = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 4\sqrt{6} = 12\sqrt{3} + 4\sqrt{6}$.
Ответ: $12\sqrt{3} + 4\sqrt{6}$.

Поверхность этого тела состоит из шести граней: верхнего основания $A_1B_1C_1$, части нижнего основания (трапеции $KBCL$), боковой грани $BCC_1B_1$, частей боковых граней (трапеций $KBB_1A_1$ и $LCC_1A_1$) и самого сечения $A_1KL$.

1. Площадь верхнего основания $A_1B_1C_1$. Это равносторонний треугольник со стороной 8.$S_{A_1B_1C_1} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$.

2. Площадь части нижнего основания $KBCL$. Это равнобокая трапеция с основаниями $BC=8$ и $KL=4$. Ее высота $PH = AH - AP = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.$S_{KBCL} = \frac{BC+KL}{2} \cdot PH = \frac{8+4}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$.

3. Площадь боковой грани $BCC_1B_1$. Это прямоугольник со сторонами 8 и $2\sqrt{3}$.$S_{BCC_1B_1} = 8 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$.

4. Площадь части боковой грани $KBB_1A_1$. Это площадь прямоугольника $ABB_1A_1$ минус площадь треугольника $A_1AK$.$S_{KBB_1A_1} = S_{ABB_1A_1} - S_{A_1AK} = (8 \cdot 2\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$.

5. Площадь части боковой грани $LCC_1A_1$. Аналогично,$S_{LCC_1A_1} = S_{ACC_1A_1} - S_{A_1AL} = (8 \cdot 2\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$.

6. Площадь сечения $A_1KL$. Мы уже нашли ее: $S_{A_1KL} = 4\sqrt{6}$.

7. Общая площадь поверхности большей части:$S_2 = S_{A_1B_1C_1} + S_{KBCL} + S_{BCC_1B_1} + S_{KBB_1A_1} + S_{LCC_1A_1} + S_{A_1KL}$$S_2 = 16\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 16\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 4\sqrt{6}$$S_2 = (16+12+16+12+12)\sqrt{3} + 4\sqrt{6} = 68\sqrt{3} + 4\sqrt{6}$.
Ответ: $68\sqrt{3} + 4\sqrt{6}$.