Номер 382, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

382. В правильной четырехугольной призме через середину бокового ребра длиной 8 см и противоположную диагональ основания проведена плоскость под углом $30^\circ$ к плоскости основания. Найдите площадь сечения и площадь полной поверхности призмы.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ – квадрат в основании, а боковые ребра перпендикулярны основанию. Длина бокового ребра (высота призмы) $H = AA_1 = 8$ см.

Проведем плоскость через диагональ основания $BD$ и середину противоположного бокового ребра $CC_1$. Обозначим середину ребра $CC_1$ как точку $M$. Тогда $MC = \frac{1}{2} CC_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Сечением является равнобедренный треугольник $MBD$ (так как $MB=MD$ из равенства прямоугольных треугольников $\triangle MCB$ и $\triangle MCD$).

Угол между плоскостью сечения $(MBD)$ и плоскостью основания $(ABC)$ равен $30^\circ$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями. Линия пересечения плоскостей – $BD$. Проведем перпендикуляры к $BD$ в каждой из плоскостей.

В основании $ABCD$ диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $AC \perp BD$. Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей. Тогда $CO \perp BD$.

В треугольнике $MBD$ медиана $MO$ является также и высотой, так как треугольник равнобедренный. Следовательно, $MO \perp BD$.

Таким образом, угол между плоскостями равен углу $\angle MOC = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCO$ (угол $\angle MCO = 90^\circ$, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию).

площадь сечения

Площадь сечения – это площадь треугольника $MBD$, которая вычисляется по формуле $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot MO$.

Найдем $MO$ и $BD$ из прямоугольного треугольника $\triangle MCO$.

Катет $MC = 4$ см, $\angle MOC = 30^\circ$.

Высота сечения $MO$ является гипотенузой в $\triangle MCO$. Найдем ее через синус:
$\sin(\angle MOC) = \frac{MC}{MO} \implies MO = \frac{MC}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Найдем катет $OC$:
$\tan(\angle MOC) = \frac{MC}{OC} \implies OC = \frac{MC}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Диагональ основания $BD$ вдвое больше отрезка $OC$, так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам:
$BD = 2 \cdot OC = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 8 = 32\sqrt{3}$ см².

Ответ: $32\sqrt{3}$ см².

площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $S_{бок}$ – площадь боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания. Основание – квадрат с диагональю $d = BD = 8\sqrt{3}$ см.
$S_{осн} = \frac{d^2}{2} = \frac{(8\sqrt{3})^2}{2} = \frac{64 \cdot 3}{2} = 96$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности. $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ – периметр основания, а $H$ – высота призмы.

Сначала найдем сторону основания $a$. Из формулы диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$:
$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6}$ см.

Периметр основания:
$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4\sqrt{6} = 16\sqrt{6}$ см.

Высота призмы $H = 8$ см.
$S_{бок} = 16\sqrt{6} \cdot 8 = 128\sqrt{6}$ см².

3. Вычислим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 96 + 128\sqrt{6} = 192 + 128\sqrt{6}$ см².

Можно вынести общий множитель: $S_{полн} = 64(3 + 2\sqrt{6})$ см².

Ответ: $192 + 128\sqrt{6}$ см².