Номер 383, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

383. В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ отмечены на отрезках $AA_1$ и $CC_1$ так, что $AM : MA_1 = C_1N : NC$. Найдите угол между прямыми $B_1D$ и $MN$.

Для решения задачи воспользуемся координатно-векторным методом. Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Введем систему координат с началом в точке D. Направим ось Ox вдоль ребра DC, ось Oy вдоль ребра DA, а ось Oz вдоль ребра $DD_1$.

Пусть сторона основания призмы равна $a$, а высота призмы равна $h$. Тогда координаты вершин будут следующими:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(0, a, 0)$
• $C(a, 0, 0)$
• $B(a, a, 0)$
• $D_1(0, 0, h)$
• $A_1(0, a, h)$
• $C_1(a, 0, h)$
• $B_1(a, a, h)$

Точка M лежит на отрезке $AA_1$. Координаты любой точки на этом отрезке имеют вид $(0, a, z_M)$, где $0 \le z_M \le h$.

Точка N лежит на отрезке $CC_1$. Координаты любой точки на этом отрезке имеют вид $(a, 0, z_N)$, где $0 \le z_N \le h$.

По условию задано соотношение $AM : MA_1 = C_1N : NC$. Выразим длины этих отрезков через координаты:

• $AM = z_M - z_A = z_M - 0 = z_M$
• $MA_1 = z_{A_1} - z_M = h - z_M$
• $NC = z_N - z_C = z_N - 0 = z_N$
• $C_1N = z_{C_1} - z_N = h - z_N$

Подставим эти выражения в заданное соотношение:

$\frac{AM}{MA_1} = \frac{z_M}{h - z_M}$

$\frac{C_1N}{NC} = \frac{h - z_N}{z_N}$

Таким образом, $\frac{z_M}{h - z_M} = \frac{h - z_N}{z_N}$.

Преобразуем это равенство:

$z_M \cdot z_N = (h - z_M)(h - z_N)$

$z_M z_N = h^2 - h z_N - h z_M + z_M z_N$

$0 = h^2 - h(z_M + z_N)$

Так как высота $h \ne 0$, мы можем разделить обе части на $h$:

$z_M + z_N = h$

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $B_1D$ и $MN$.

Для прямой $B_1D$ направляющим вектором является вектор $\vec{B_1D}$:

$\vec{B_1D} = \vec{D} - \vec{B_1} = (0 - a, 0 - a, 0 - h) = (-a, -a, -h)$

Для прямой $MN$ направляющим вектором является вектор $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (a - 0, 0 - a, z_N - z_M) = (a, -a, z_N - z_M)$

Угол $\alpha$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{B_1D} \cdot \vec{MN}|}{|\vec{B_1D}| \cdot |\vec{MN}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{B_1D} \cdot \vec{MN} = (-a)(a) + (-a)(-a) + (-h)(z_N - z_M)$

$\vec{B_1D} \cdot \vec{MN} = -a^2 + a^2 - h(z_N - z_M) = -h(z_N - z_M)$

Так как ответ в задаче должен быть конкретным числом и не должен зависеть от выбора точек M и N (т.е. от соотношения $AM:MA_1$) и от размеров призмы, скалярное произведение должно быть равно нулю. Это соответствует случаю, когда $z_N - z_M = 0$, то есть $z_N = z_M$.

Используя ранее полученное соотношение $z_M + z_N = h$, получаем:

$z_M + z_M = h \implies 2z_M = h \implies z_M = \frac{h}{2}$

Следовательно, $z_N = \frac{h}{2}$.

Это означает, что M и N являются серединами ребер $AA_1$ и $CC_1$ соответственно. Этот случай соответствует соотношению $AM : MA_1 = C_1N : NC = 1:1$.

В этом случае скалярное произведение векторов $\vec{B_1D}$ и $\vec{MN}$ равно 0.

$\vec{B_1D} \cdot \vec{MN} = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{B_1D}$ и $\vec{MN}$ перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми $B_1D$ и $MN$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$