Номер 380, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

380. В основании призмы лежит ромб с диагоналями $a$ и $b$, боковое ребро призмы равно $l$ и наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$, одно из диагональных сечений перпендикулярно плоскости основания. Найдите возможные значения площади боковой поверхности.

C M B

Рис. 137

Пусть в основании призмы лежит ромб `ABCD` с диагоналями `AC=a` и `BD=b`. Сторона ромба `s` может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба:

`s^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2`, откуда `s = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}`.

Призма является наклонной, так как боковое ребро длиной `l` наклонено к плоскости основания под углом `60^\circ`. Высота призмы `H` равна `H = l \cdot \sin(60^\circ) = \frac{l\sqrt{3}}{2}`.

Условие "одно из диагональных сечений перпендикулярно плоскости основания" означает, что проекция бокового ребра на плоскость основания совпадает с одной из диагоналей. Это приводит к двум возможным случаям.

Площадь боковой поверхности призмы `S_{бок}` равна сумме площадей четырех боковых граней, которые являются параллелограммами. В силу симметрии ромба все четыре боковые грани являются равными параллелограммами. Найдем площадь одной такой грани `S_{грани}` и умножим на 4.

Для нахождения площади грани воспользуемся векторным методом. Пусть центр ромба находится в начале координат `O(0,0,0)`. Разместим вершины ромба на осях координат.

Случай 1: Диагональное сечение, проходящее через диагональ `a`, перпендикулярно основанию.

В этом случае диагональ `AC` длиной `a` лежит на оси `Ox`, а диагональ `BD` длиной `b` — на оси `Oy`. Координаты вершин основания: `A(\frac{a}{2}, 0, 0)`, `B(0, \frac{b}{2}, 0)`. Проекция бокового ребра `AA'` на плоскость основания `Oxy` лежит на диагонали `AC` (ось `Ox`). Длина этой проекции равна `l \cdot \cos(60^\circ) = \frac{l}{2}`. Вертикальная составляющая вектора бокового ребра `\vec{v} = \vec{AA'}` равна высоте призмы `H = \frac{l\sqrt{3}}{2}`. Таким образом, вектор бокового ребра: `\vec{v} = (\frac{l}{2}, 0, \frac{l\sqrt{3}}{2})`. Найдем площадь боковой грани `ABB'A'`, которая равна модулю векторного произведения векторов `\vec{AB}` и `\vec{AA'}`.

Вектор `\vec{AB} = B - A = (0 - \frac{a}{2}, \frac{b}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0)`. Площадь грани `S_{грани} = |\vec{AB} \times \vec{v}|`.

`\vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a/2 & b/2 & 0 \\ l/2 & 0 & l\sqrt{3}/2 \end{vmatrix} = \vec{i}(\frac{b}{2} \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} - 0) - \vec{j}(-\frac{a}{2} \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} - 0) + \vec{k}(0 - \frac{b}{2} \cdot \frac{l}{2}) = \frac{bl\sqrt{3}}{4}\vec{i} + \frac{al\sqrt{3}}{4}\vec{j} - \frac{bl}{4}\vec{k}`

Модуль этого вектора равен:

`S_{грани} = \sqrt{(\frac{bl\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{al\sqrt{3}}{4})^2 + (-\frac{bl}{4})^2} = \sqrt{\frac{3b^2l^2}{16} + \frac{3a^2l^2}{16} + \frac{b^2l^2}{16}} = \sqrt{\frac{l^2(3a^2 + 4b^2)}{16}} = \frac{l}{4}\sqrt{3a^2 + 4b^2}`

Площадь боковой поверхности `S_{бок1}` равна `4 \cdot S_{грани}`:

`S_{бок1} = 4 \cdot \frac{l}{4}\sqrt{3a^2 + 4b^2} = l\sqrt{3a^2 + 4b^2}`

Ответ: $l\sqrt{3a^2 + 4b^2}$

Случай 2: Диагональное сечение, проходящее через диагональ `b`, перпендикулярно основанию.

Этот случай полностью аналогичен первому, но теперь призма "наклонена" вдоль диагонали `b`. Проекция бокового ребра на плоскость основания лежит на прямой, содержащей диагональ `b`. Результат можно получить, поменяв в формуле из первого случая `a` и `b` местами.

`S_{бок2} = l\sqrt{3b^2 + 4a^2}`

Для формального вывода можно положить диагональ `b` на ось `Ox`, а `a` на ось `Oy`. Тогда `A(0, \frac{a}{2}, 0)`, `B(\frac{b}{2}, 0, 0)`. Вектор бокового ребра будет `\vec{v} = (\frac{l}{2}, 0, \frac{l\sqrt{3}}{2})`. Вектор `\vec{AB} = (\frac{b}{2}, -\frac{a}{2}, 0)`. Векторное произведение даст `|\vec{AB} \times \vec{v}| = \frac{l}{4}\sqrt{3b^2 + 4a^2}`, что приводит к тому же ответу.

Ответ: $l\sqrt{4a^2 + 3b^2}$