Номер 351, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

351. Диагональные сечения четырехугольной призмы — прямоугольники, площадь одного из них равна $Q$, диагональ другого имеет длину $d$ и образует с основанием угол $\alpha$. Найдите объем призмы, учитывая, что угол между диагональными сечениями равен $\beta$.

Пусть основанием четырехугольной призмы является четырехугольник $ABCD$, а верхним основанием — $A_1B_1C_1D_1$. Так как диагональные сечения являются прямоугольниками, призма является прямой. Ее высота $H$ равна длине бокового ребра, например, $AA_1$.

Обозначим диагонали основания как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Тогда диагональные сечения — это прямоугольники $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$.

По условию, площадь одного из сечений равна $Q$. Пусть это будет сечение $ACC_1A_1$. Его площадь равна произведению его сторон $AC$ и $AA_1$.
$S_{ACC_1A_1} = AC \cdot AA_1 = d_1 \cdot H = Q$. (1)

Диагональ другого сечения, $BDD_1B_1$, имеет длину $d$. Пусть это будет диагональ $B_1D$. Эта диагональ образует с основанием угол $\alpha$. Угол между наклонной $B_1D$ и плоскостью основания — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость, то есть диагональю основания $BD$. Таким образом, $\angle B_1DB = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1DB$ (угол $\angle B_1BD = 90^\circ$, так как призма прямая). В этом треугольнике:
- гипотенуза $B_1D = d$;
- катет $B_1B$ является высотой призмы $H$. Из определения синуса: $H = B_1B = B_1D \cdot \sin(\alpha) = d \sin(\alpha)$.
- катет $BD$ является диагональю основания $d_2$. Из определения косинуса: $d_2 = BD = B_1D \cdot \cos(\alpha) = d \cos(\alpha)$.

Теперь, зная высоту $H$, мы можем найти длину первой диагонали основания $d_1$ из уравнения (1):
$d_1 \cdot H = Q \implies d_1 \cdot (d \sin(\alpha)) = Q \implies d_1 = \frac{Q}{d \sin(\alpha)}$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними. По условию, угол между диагональными сечениями равен $\beta$. Для прямой призмы этот угол равен углу между диагоналями основания $AC$ и $BD$.
Следовательно, площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\beta)$.

Подставим найденные выражения для $d_1$ и $d_2$ в формулу для площади основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{Q}{d \sin(\alpha)}\right) \cdot (d \cos(\alpha)) \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2} \frac{Q d \cos(\alpha) \sin(\beta)}{d \sin(\alpha)} = \frac{1}{2} Q \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \sin(\beta) = \frac{1}{2} Q \cot(\alpha) \sin(\beta)$.

Наконец, найдем объем призмы, подставив в формулу $V = S_{осн} \cdot H$ выражения для $S_{осн}$ и $H$:
$V = \left(\frac{1}{2} Q \cot(\alpha) \sin(\beta)\right) \cdot (d \sin(\alpha)) = \frac{1}{2} Q \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \sin(\beta) \cdot d \sin(\alpha)$.

Сократив $\sin(\alpha)$, получаем окончательное выражение для объема:
$V = \frac{1}{2} Q d \cos(\alpha) \sin(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{2} Q d \cos(\alpha) \sin(\beta)$.