Номер 347, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

347. В основании призмы лежит ромб с диагоналями $a$ и $b$, боковое ребро призмы равно $l$ и наклонено к плоскости основания под углом $30^{\circ}$, одно из диагональных сечений перпендикулярно плоскости основания (рис. 126). Найдите возможные значения площади диагональных сечений.

Рис. 126

Пусть в основании призмы лежит ромб со сторонами $ABCD$ и диагоналями $AC=a$ и $BD=b$. Боковое ребро призмы равно $l$ и наклонено к плоскости основания под углом $30^\circ$.

Высота призмы $H$ определяется как катет в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является боковое ребро $l$, а один из острых углов равен $30^\circ$.

$H = l \cdot \sin(30^\circ) = l \cdot \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$

Диагональные сечения призмы — это параллелограммы. По условию, одно из них перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что высота призмы $H$ лежит в плоскости этого сечения. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Диагональное сечение $ACC'A'$, построенное на диагонали $a$, перпендикулярно плоскости основания.

В этом случае высота призмы $H$ является также высотой параллелограмма $ACC'A'$, проведенной к стороне $AC$. Площадь этого сечения $S_1$ равна:

$S_1 = AC \cdot H = a \cdot \frac{l}{2} = \frac{al}{2}$

Теперь найдем площадь второго диагонального сечения, $BDD'B'$, построенного на диагонали $b$. Поскольку сечение $ACC'A'$ перпендикулярно основанию, проекция бокового ребра (например, $AA'$) на плоскость основания лежит на прямой $AC$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$). Следовательно, проекция бокового ребра перпендикулярна диагонали $BD$. Так как и высота призмы (вертикальная составляющая бокового ребра) перпендикулярна $BD$, то и само боковое ребро перпендикулярно диагонали $BD$.

Это означает, что параллелограмм $BDD'B'$ является прямоугольником со сторонами $b$ и $l$. Его площадь $S_2$ равна:

$S_2 = BD \cdot l = bl$

В этом случае площади диагональных сечений равны $\frac{al}{2}$ и $bl$.

Случай 2: Диагональное сечение $BDD'B'$, построенное на диагонали $b$, перпендикулярно плоскости основания.

Этот случай полностью аналогичен первому, если поменять местами диагонали $a$ и $b$.

Высота призмы $H$ является высотой параллелограмма $BDD'B'$. Площадь этого сечения $S_1$ равна:

$S_1 = BD \cdot H = b \cdot \frac{l}{2} = \frac{bl}{2}$

Проекция бокового ребра на плоскость основания теперь лежит на прямой $BD$. Так как $BD \perp AC$, проекция бокового ребра перпендикулярна диагонали $AC$. Это означает, что само боковое ребро перпендикулярно диагонали $AC$.

Следовательно, диагональное сечение $ACC'A'$ является прямоугольником со сторонами $a$ и $l$. Его площадь $S_2$ равна:

$S_2 = AC \cdot l = al$

В этом случае площади диагональных сечений равны $\frac{bl}{2}$ и $al$.

Таким образом, существуют две возможные пары значений для площадей диагональных сечений.

Ответ: Возможны два набора площадей диагональных сечений: $\frac{al}{2}$ и $bl$, либо $\frac{bl}{2}$ и $al$.