Номер 341, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

341. Найдите диагонали параллелепипеда, учитывая, что каждая его грань есть ромб с углом $60^\circ$ и стороной $a$.

Параллелепипед, у которого все грани — равные ромбы, называется ромбоэдром. По условию, каждая грань является ромбом со стороной $a$ и углом $60^\circ$. Это означает, что все ребра параллелепипеда равны $a$.

Для нахождения диагоналей воспользуемся векторным методом. Выберем одну из вершин параллелепипеда в качестве начала координат $O$. Пусть из этой вершины выходят три ребра, которые мы представим в виде векторов $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ и $\vec{v_3}$.

Длины этих векторов равны стороне ромба:

$|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = |\vec{v_3}| = a$.

Поскольку все грани являются одинаковыми ромбами с острым углом $60^\circ$, для построения объёмной фигуры (невырожденного параллелепипеда) необходимо, чтобы три грани сходились в одной вершине своими острыми углами. Таким образом, углы между векторами ребер, выходящими из этой вершины, равны $60^\circ$:

$\angle(\vec{v_1}, \vec{v_2}) = \angle(\vec{v_1}, \vec{v_3}) = \angle(\vec{v_2}, \vec{v_3}) = 60^\circ$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{v_i} \cdot \vec{v_j} = |\vec{v_i}| \cdot |\vec{v_j}| \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$ для $i \neq j$.

Параллелепипед имеет четыре диагонали, соединяющие противоположные вершины. Векторы этих диагоналей можно выразить через $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$:

• $\vec{d_1} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}$ (диагональ, соединяющая вершину $O$ с противоположной ей вершиной)
• $\vec{d_2} = -\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}$
• $\vec{d_3} = \vec{v_1} - \vec{v_2} + \vec{v_3}$
• $\vec{d_4} = \vec{v_1} + \vec{v_2} - \vec{v_3}$

Длина вектора $\vec{d}$ вычисляется как $\sqrt{\vec{d} \cdot \vec{d}} = \sqrt{|\vec{d}|^2}$.

Найдем квадрат длины первой диагонали:

$|\vec{d_1}|^2 = (\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}) \cdot (\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3})$

$|\vec{d_1}|^2 = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + |\vec{v_3}|^2 + 2(\vec{v_1}\cdot\vec{v_2} + \vec{v_1}\cdot\vec{v_3} + \vec{v_2}\cdot\vec{v_3})$

Подставим известные значения:

$|\vec{d_1}|^2 = a^2 + a^2 + a^2 + 2(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}) = 3a^2 + 2(\frac{3a^2}{2}) = 3a^2 + 3a^2 = 6a^2$.

Следовательно, длина первой диагонали: $d_1 = \sqrt{6a^2} = a\sqrt{6}$.

Теперь найдем длины трех других диагоналей. В силу симметрии их длины должны быть равны. Найдем длину одной из них, например, $d_2$:

$|\vec{d_2}|^2 = (-\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}) \cdot (-\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3})$

$|\vec{d_2}|^2 = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + |\vec{v_3}|^2 - 2\vec{v_1}\cdot\vec{v_2} - 2\vec{v_1}\cdot\vec{v_3} + 2\vec{v_2}\cdot\vec{v_3}$

Подставим известные значения:

$|\vec{d_2}|^2 = a^2 + a^2 + a^2 - 2(\frac{a^2}{2}) - 2(\frac{a^2}{2}) + 2(\frac{a^2}{2}) = 3a^2 - a^2 - a^2 + a^2 = 2a^2$.

Следовательно, длина второй диагонали: $d_2 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Аналогичные вычисления для $\vec{d_3}$ и $\vec{d_4}$ дадут тот же результат: $d_3 = a\sqrt{2}$ и $d_4 = a\sqrt{2}$.

Таким образом, у данного параллелепипеда есть одна большая диагональ и три малые диагонали одинаковой длины.

Ответ: одна диагональ имеет длину $a\sqrt{6}$, три другие диагонали имеют длину $a\sqrt{2}$.