Номер 335, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

335. В прямой треугольной призме боковые ребра втрое длиннее ребер основания (рис. 122). Найдите высоту призмы, учитывая, что площадь полной поверхности призмы равна $39 + 20\sqrt{3}$.

Рис. 122

Решение:

Обозначим длину ребра основания призмы через $a$. Так как призма прямая треугольная и в условии сказано, что боковые ребра втрое длиннее ребер основания, это означает, что все ребра основания равны между собой, то есть в основании лежит равносторонний треугольник. Высота прямой призмы $h$ равна длине ее бокового ребра.

По условию задачи, $h = 3a$.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей основания ($S_{осн}$):

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь основания, являющегося равносторонним треугольником со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$):

$P_{осн} = 3a$

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 3a \cdot 3a = 9a^2$

Теперь можем записать выражение для площади полной поверхности через $a$:

$S_{полн} = 9a^2 + 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9a^2 + \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

По условию задачи, $S_{полн} = 39 + 20\sqrt{3}$. Составим уравнение:

$9a^2 + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 39 + 20\sqrt{3}$

Вынесем $a^2$ за скобки в левой части:

$a^2(9 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 39 + 20\sqrt{3}$

$a^2(\frac{18 + \sqrt{3}}{2}) = 39 + 20\sqrt{3}$

Выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{2(39 + 20\sqrt{3})}{18 + \sqrt{3}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(18 - \sqrt{3})$:

$a^2 = \frac{2(39 + 20\sqrt{3})(18 - \sqrt{3})}{(18 + \sqrt{3})(18 - \sqrt{3})} = \frac{2(39 \cdot 18 - 39\sqrt{3} + 20\sqrt{3} \cdot 18 - 20\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{18^2 - (\sqrt{3})^2}$

$a^2 = \frac{2(702 - 39\sqrt{3} + 360\sqrt{3} - 60)}{324 - 3} = \frac{2(642 + 321\sqrt{3})}{321}$

Заметим, что $642 = 2 \cdot 321$. Вынесем 321 в числителе за скобки:

$a^2 = \frac{2 \cdot 321(2 + \sqrt{3})}{321} = 2(2 + \sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}$

Чтобы найти $a$, представим выражение $4 + 2\sqrt{3}$ в виде полного квадрата:

$4 + 2\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = (1)^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (1 + \sqrt{3})^2$

Таким образом, $a^2 = (1 + \sqrt{3})^2$. Так как длина ребра $a$ должна быть положительной, получаем:

$a = 1 + \sqrt{3}$

Теперь найдем высоту призмы $h$:

$h = 3a = 3(1 + \sqrt{3}) = 3 + 3\sqrt{3}$

Ответ: $3 + 3\sqrt{3}$.