Номер 329, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

329. Плоскость, проведенная через середины двух сторон основания прямоугольного параллелепипеда под углом $\alpha$ к плоскости основания, пересекает три его боковых ребра. Выразите площадь сечения через угол $\alpha$ и измерения $a$ и $b$ основания.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Обозначим вершины основания как $A, B, C, D$ так, что $AB = a$ и $AD = b$.

Секущая плоскость проходит через середины двух сторон основания. Рассмотрим возможные случаи расположения этих сторон.

1. Стороны противоположные. Например, плоскость проходит через середины сторон $AD$ и $BC$. Линия пересечения секущей плоскости с плоскостью основания будет параллельна сторонам $AB$ и $CD$. В этом случае, плоскость будет пересекать только два боковых ребра (например, $AA_1$ и $BB_1$ или $DD_1$ и $CC_1$). Это противоречит условию, что плоскость пересекает три боковых ребра.

2. Стороны смежные. Следовательно, плоскость должна проходить через середины двух смежных сторон. Без ограничения общности, пусть это будут стороны $AB$ и $AD$. Обозначим их середины как $M$ и $N$ соответственно. Тогда $AM = a/2$ и $AN = b/2$.

Плоскость сечения пересекает плоскость основания по прямой $MN$. По условию, плоскость пересекает три боковых ребра. Чтобы это условие выполнялось, плоскость должна пересекать ребра, наиболее удаленные от угла $A$, то есть ребра $BB_1$, $DD_1$ и $CC_1$. Сечением в этом случае будет пятиугольник.

Для нахождения площади сечения ($S_{сеч}$) воспользуемся известной теоремой о связи площади фигуры и площади её ортогональной проекции:$S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$где $S_{пр}$ — площадь проекции сечения на плоскость основания, а $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Из этой формулы площадь сечения можно выразить как:$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)}$

Ортогональной проекцией сечения на плоскость основания является пятиугольник $MBCDN$. Его площадь можно найти как разность площади всего прямоугольника основания $ABCD$ и площади прямоугольного треугольника $AMN$.

Площадь основания $S_{ABCD}$ равна:$S_{ABCD} = a \cdot b$

Площадь прямоугольного треугольника $AMN$ с катетами $AM = a/2$ и $AN = b/2$ равна:$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{8}$

Теперь найдем площадь проекции $S_{пр}$:$S_{пр} = S_{ABCD} - S_{AMN} = ab - \frac{ab}{8} = \frac{7ab}{8}$

Наконец, подставим найденное значение площади проекции в формулу для площади сечения:$S_{сеч} = \frac{\frac{7ab}{8}}{\cos(\alpha)} = \frac{7ab}{8\cos(\alpha)}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{7ab}{8\cos(\alpha)}$.