Номер 324, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

324 Расстояния между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны 25 см, 29 см и 36 см (рис. 119). Найдите расстояния между каждой боковой гранью и противоположным ребром.

Рис. 119

Пусть дана наклонная треугольная призма. Боковые ребра призмы ($AA_1, BB_1, CC_1$) параллельны друг другу. Расстояния между боковыми ребрами — это длины сторон сечения призмы плоскостью, перпендикулярной этим ребрам. Это сечение представляет собой треугольник со сторонами, равными заданным расстояниям: $a=25$ см, $b=29$ см и $c=36$ см.

Расстояние от боковой грани (например, $ABB_1A_1$) до противоположного ребра ($CC_1$) равно высоте треугольника перпендикулярного сечения, опущенной из вершины, лежащей на ребре $CC_1$, на сторону, лежащую в грани $ABB_1A_1$.

Таким образом, задача сводится к нахождению трех высот треугольника со сторонами 25, 29 и 36 см. Для этого сначала найдем площадь этого треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр.

1. Вычисляем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25 + 29 + 36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

2. Вычисляем площадь треугольника $S$:

$S = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9}$

$S = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 4 \cdot 16} = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 64} = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 8^2}$

$S = 9 \cdot 5 \cdot 8 = 360$ см².

Теперь, зная площадь, мы можем найти высоты треугольника ($h_a, h_b, h_c$), используя формулу $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Отсюда высота $h = \frac{2S}{\text{основание}}$.

Расстояние от боковой грани (соответствующей стороне 36 см) до противоположного ребра

Это высота, проведенная к стороне $c = 36$ см.

$h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 360}{36} = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

Расстояние от боковой грани (соответствующей стороне 25 см) до противоположного ребра

Это высота, проведенная к стороне $a = 25$ см.

$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 360}{25} = \frac{720}{25} = \frac{144}{5} = 28,8$ см.

Ответ: 28,8 см.

Расстояние от боковой грани (соответствующей стороне 29 см) до противоположного ребра

Это высота, проведенная к стороне $b = 29$ см.

$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 360}{29} = \frac{720}{29}$ см.

Ответ: $\frac{720}{29}$ см.