Номер 320, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

320. Высота прямой треугольной призмы равна 25 см, а ребра основания — 17 см, 25 см и 26 см (рис. 117). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через боковое ребро перпендикулярно меньшей стороне основания.

Рис. 117

Пусть дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Высота призмы равна $H = AA_1 = 25$ см. Стороны основания, треугольника $ABC$, равны $BC = 17$ см, $AC = 25$ см и $AB = 26$ см.

Требуется найти площадь сечения, образованного плоскостью, которая проходит через боковое ребро призмы перпендикулярно меньшей стороне основания.

Определение плоскости сечения и его формы
Меньшей стороной основания является сторона $BC$, так как ее длина 17 см — наименьшая из трех. Плоскость сечения перпендикулярна стороне $BC$. Чтобы сечение проходило внутри призмы, оно должно быть построено на высоте треугольника $ABC$, опущенной из противолежащей вершины $A$ на сторону $BC$. Следовательно, секущая плоскость проходит через боковое ребро $AA_1$. Пусть $AH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Поскольку призма прямая, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и высоте $AH$. Таким образом, сечение является прямоугольником со сторонами, равными высоте призмы $AA_1$ и высоте основания $AH$.

Вычисление высоты основания $AH$
Для нахождения длины высоты $AH$ сначала вычислим площадь треугольника $ABC$, используя формулу Герона. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{17 + 25 + 26}{2} = \frac{68}{2} = 34$ см. Теперь вычислим площадь треугольника $S_{\triangle ABC}$: $S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{34(34-17)(34-25)(34-26)}$ $S_{\triangle ABC} = \sqrt{34 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 8} = \sqrt{(2 \cdot 17) \cdot 17 \cdot 9 \cdot 16} = \sqrt{17^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2} = 17 \cdot 3 \cdot 4 = 204$ см$^2$. С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$. Подставив известные значения, получим: $204 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot AH$. Отсюда находим высоту $AH$: $AH = \frac{2 \cdot 204}{17} = \frac{408}{17} = 24$ см.

Вычисление площади сечения
Площадь сечения, которое является прямоугольником, равна произведению длин его сторон $AA_1$ и $AH$. $S_{сеч} = AA_1 \cdot AH = 25 \cdot 24 = 600$ см$^2$.

Ответ: 600 см$^2$.