Номер 321, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

321. Основанием призмы является выпуклый многоугольник. Докажите, что эта призма прямая, учитывая, что три ее боковые грани являются прямоугольниками.

Пусть дана призма, основанием которой является выпуклый многоугольник $A_1A_2...A_n$. Боковые ребра призмы $A_1B_1, A_2B_2, ..., A_nB_n$ параллельны и равны между собой. Боковые грани призмы, такие как $A_kA_{k+1}B_{k+1}B_k$, по определению являются параллелограммами. Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Для доказательства достаточно показать, что любое боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

По условию, три боковые грани призмы являются прямоугольниками. Пусть эти грани построены на сторонах основания $A_iA_{i+1}$, $A_jA_{j+1}$ и $A_kA_{k+1}$.

Если боковая грань $A_iA_{i+1}B_{i+1}B_i$ является прямоугольником, то её углы прямые. В частности, угол между боковым ребром и стороной основания прямой: $\angle B_iA_iA_{i+1} = 90^\circ$. Это означает, что боковое ребро $A_iB_i$ перпендикулярно стороне основания $A_iA_{i+1}$.

Все боковые рёбра призмы параллельны друг другу. Из того, что ребро $A_iB_i$ перпендикулярно прямой, содержащей сторону $A_iA_{i+1}$, следует, что и любое другое боковое ребро также перпендикулярно этой прямой. Таким образом, из условия о трёх гранях-прямоугольниках следует, что любое боковое ребро призмы перпендикулярно трём прямым, содержащим стороны основания $A_iA_{i+1}$, $A_jA_{j+1}$ и $A_kA_{k+1}$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Нам нужно показать, что среди трёх прямых, содержащих стороны $A_iA_{i+1}$, $A_jA_{j+1}$ и $A_kA_{k+1}$, есть по крайней мере две пересекающиеся. Это эквивалентно тому, что среди трёх соответствующих сторон основания есть по крайней мере две непараллельные.

Докажем, что в выпуклом многоугольнике не может быть трёх попарно параллельных сторон. Более того, для любого заданного направления существует не более двух сторон, параллельных этому направлению. Это следует из того, что для любого направления существуют ровно две параллельные опорные прямые к выпуклому многоугольнику. Любая сторона многоугольника, параллельная этому направлению, должна целиком лежать на одной из этих двух опорных прямых. На каждой опорной прямой может располагаться не более одной стороны. Следовательно, из любых трёх сторон выпуклого многоугольника по крайней мере две не будут параллельны.

Таким образом, среди трёх сторон $A_iA_{i+1}$, $A_jA_{j+1}$ и $A_kA_{k+1}$ найдутся как минимум две непараллельные. Пусть это стороны $A_iA_{i+1}$ и $A_jA_{j+1}$. Прямые, содержащие эти стороны, пересекаются и лежат в плоскости основания.

Мы установили, что любое боковое ребро призмы перпендикулярно этим двум пересекающимся прямым. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Поскольку все боковые рёбра призмы параллельны, все они перпендикулярны плоскости основания. По определению, такая призма является прямой.

Ответ: Утверждение доказано.