Номер 323, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

323. Докажите, что сечение, проведенное через концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины (рис. 118), отсекает третью долю диагонали параллелепипеда и эта диагональ проходит через точку пересечения медиан треугольного сечения.

Рис. 118

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выберем вершину $B$ в качестве начала координат и введем базисные векторы, соответствующие ребрам, выходящим из этой вершины:

• $\vec{BA} = \vec{a}$
• $\vec{BC} = \vec{c}$
• $\vec{BB_1} = \vec{b_1}$

Эти три вектора некомпланарны. Сечение, о котором идет речь в задаче, проходит через точки $A$, $C$ и $B_1$. Диагональ параллелепипеда, выходящая из вершины $B$ — это диагональ $BD_1$. Ее вектор выражается как сумма базисных векторов:

$\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{c} + \vec{b_1}$

Пусть $P$ — точка пересечения диагонали $BD_1$ с плоскостью сечения $(AB_1C)$.

Поскольку точка $P$ лежит на прямой $BD_1$, ее радиус-вектор $\vec{BP}$ коллинеарен вектору $\vec{BD_1}$. Это означает, что существует такое число $k$, что:

$\vec{BP} = k \cdot \vec{BD_1} = k(\vec{a} + \vec{b_1} + \vec{c})$

С другой стороны, поскольку точка $P$ лежит в плоскости $(AB_1C)$, ее радиус-вектор $\vec{BP}$ можно представить как аффинную комбинацию радиус-векторов вершин $A$, $B_1$ и $C$. В нашей системе координат с началом в $B$ это означает:

$\vec{BP} = \alpha \cdot \vec{BA} + \beta \cdot \vec{BB_1} + \gamma \cdot \vec{BC}$, где сумма коэффициентов $\alpha + \beta + \gamma = 1$.

Заменяя векторы вершин на их обозначения, получаем:

$\vec{BP} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b_1} + \gamma \vec{c}$

Теперь приравняем два выражения для вектора $\vec{BP}$:

$k\vec{a} + k\vec{b_1} + k\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b_1} + \gamma \vec{c}$

В силу того, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b_1}$, $\vec{c}$ линейно независимы (образуют базис), это равенство выполняется только тогда, когда коэффициенты при соответствующих векторах равны:

$\alpha = k$, $\beta = k$, $\gamma = k$.

Подставим эти равенства в условие $\alpha + \beta + \gamma = 1$:

$k + k + k = 1 \implies 3k = 1 \implies k = \frac{1}{3}$

Таким образом, мы получили, что $\vec{BP} = \frac{1}{3}\vec{BD_1}$. Это означает, что точка пересечения $P$ делит диагональ $BD_1$ в отношении $1:2$, считая от вершины $B$. Следовательно, сечение отсекает от диагонали третью ее долю.

Ответ: Утверждение доказано.

Пусть $Q$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $AB_1C$. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин.

Радиус-векторы вершин треугольника $AB_1C$ в нашей системе координат это $\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BB_1} = \vec{b_1}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$.

Тогда радиус-вектор точки $Q$ вычисляется по формуле:

$\vec{BQ} = \frac{\vec{BA} + \vec{BB_1} + \vec{BC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b_1} + \vec{c}}{3}$

В первой части доказательства мы нашли радиус-вектор точки $P$ — точки пересечения диагонали $BD_1$ с плоскостью сечения:

$\vec{BP} = \frac{1}{3}\vec{BD_1} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b_1} + \vec{c})$

Сравнивая выражения для $\vec{BP}$ и $\vec{BQ}$, мы видим, что они полностью совпадают: $\vec{BP} = \vec{BQ}$.

Это означает, что точка пересечения диагонали с плоскостью сечения $P$ и точка пересечения медиан треугольника $Q$ — это одна и та же точка. Следовательно, диагональ $BD_1$ проходит через точку пересечения медиан треугольного сечения $AB_1C$.

Ответ: Утверждение доказано.