Номер 330, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

330. Высота правильной шестиугольной призмы втрое больше стороны основания. Найдите отношение площади основания к площади сечения, проходящего через сторону основания и диагональ призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее высота. Согласно условию задачи, высота призмы втрое больше стороны ее основания, что можно записать как $h = 3a$.

Сначала найдем площадь основания призмы, $S_{осн}$. Основание представляет собой правильный шестиугольник со стороной $a$. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить как сумму площадей шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Следовательно, площадь всего основания составляет: $S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Далее определим сечение и вычислим его площадь. В правильном шестиугольнике (пусть его вершины $A, B, C, D, E, F$) сторона $AB$ параллельна стороне $ED$. Следовательно, в призме ребро нижнего основания $AB$ параллельно ребру верхнего основания $E_1D_1$. Плоскость, проходящая через эти два параллельных ребра, образует сечение $ABD_1E_1$. Этот четырехугольник является прямоугольником, так как это параллелограмм с равными диагоналями ($AD_1$ и $BE_1$ — равные диагонали призмы). Одна из сторон этого прямоугольника ($AB$) является стороной основания, а его диагональ ($AD_1$) является диагональю призмы, поэтому данное сечение удовлетворяет условию задачи.

Площадь этого сечения, $S_{сеч}$, равна произведению длин его смежных сторон, например, $AB$ и $AE_1$.

Длина стороны $AB$ равна стороне основания: $|AB| = a$.

Длину стороны $AE_1$ найдем из прямоугольного треугольника $AEE_1$ по теореме Пифагора. Один катет, $EE_1$, равен высоте призмы $h$. Другой катет, $AE$, является малой диагональю правильного шестиугольника в основании, и его длина составляет $a\sqrt{3}$.

Таким образом, квадрат длины стороны $AE_1$ равен: $|AE_1|^2 = |AE|^2 + |EE_1|^2 = (a\sqrt{3})^2 + h^2 = 3a^2 + h^2$.

Используя условие $h=3a$, получаем: $|AE_1|^2 = 3a^2 + (3a)^2 = 3a^2 + 9a^2 = 12a^2$. Отсюда длина стороны $AE_1$ равна $|AE_1| = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}$.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения: $S_{сеч} = |AB| \cdot |AE_1| = a \cdot (2a\sqrt{3}) = 2a^2\sqrt{3}$.

Наконец, найдем искомое отношение площади основания к площади сечения: $\frac{S_{осн}}{S_{сеч}} = \frac{\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}}{2a^2\sqrt{3}}$.

После сокращения общих множителей $a^2\sqrt{3}$ получаем: $\frac{S_{осн}}{S_{сеч}} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.