Номер 333, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

333. В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с площадью основания $50 \text{ см}^2$ прямые $OM$ и $ON$, проходящие через центр $O$ грани $ABCD$ и середины $M$ и $N$ ребер $AA_1$ и $B_1C_1$, взаимно перпендикулярны (рис. 121). Найдите полную поверхность призмы.

Рис. 121

Для нахождения полной поверхности призмы используется формула $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$. Площадь основания дана по условию, $S_{осн} = 50$ см². Для вычисления площади боковой поверхности $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$ необходимо найти сторону основания $a$ и высоту призмы $h$.

Поскольку призма правильная четырехугольная, ее основание $ABCD$ является квадратом. Площадь квадрата равна $S_{осн} = a^2$. Из условия $a^2 = 50$, находим сторону основания: $a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Периметр основания $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся условием, что прямые $OM$ и $ON$ взаимно перпендикулярны. Для этого введем систему координат. Поместим начало координат в центр основания $O(0,0,0)$. Направим оси $Ox$ и $Oy$ параллельно сторонам основания $AB$ и $AD$, а ось $Oz$ — вертикально вверх, вдоль высоты призмы.

В этой системе координат найдем координаты точек $M$ и $N$:

• Координаты вершин основания: $A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$ и $A_1(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, h)$. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$, поэтому ее координаты $M(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{h}{2})$.
• Координаты вершин верхнего основания: $B_1(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, h)$ и $C_1(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h)$. Точка $N$ — середина ребра $B_1C_1$, поэтому ее координаты $N(\frac{a}{2}, 0, h)$.

Теперь найдем векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$, которые совпадают с радиус-векторами точек $M$ и $N$, так как начало координат находится в точке $O$:$\vec{OM} = \{-\frac{a}{2}; -\frac{a}{2}; \frac{h}{2}\}$$\vec{ON} = \{\frac{a}{2}; 0; h\}$

Условие перпендикулярности прямых $OM$ и $ON$ означает, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю: $\vec{OM} \cdot \vec{ON} = 0$.$(-\frac{a}{2}) \cdot (\frac{a}{2}) + (-\frac{a}{2}) \cdot 0 + (\frac{h}{2}) \cdot h = 0$$-\frac{a^2}{4} + 0 + \frac{h^2}{2} = 0$$\frac{h^2}{2} = \frac{a^2}{4}$$h^2 = \frac{a^2}{2}$, следовательно, $h = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Подставим значение $a = 5\sqrt{2}$ см в полученное соотношение, чтобы найти высоту $h$:$h = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности и полную поверхность призмы.$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 20\sqrt{2} \cdot 5 = 100\sqrt{2}$ см².$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 100\sqrt{2} + 2 \cdot 50 = 100\sqrt{2} + 100 = 100(1 + \sqrt{2})$ см².

Ответ: $100(1 + \sqrt{2})$ см².