Номер 336, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

336. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна 36 $cm^2$ и относится к площади полной поверхности как 3 : 5. Найдите высоту призмы.

Пусть $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, а $S_{полн}$ - площадь ее полной поверхности.

По условию задачи, $S_{бок} = 36 \text{ см}^2$, а отношение площади боковой поверхности к площади полной поверхности равно $3:5$. Это можно записать в виде пропорции: $$ \frac{S_{бок}}{S_{полн}} = \frac{3}{5} $$

Подставим известное значение $S_{бок}$ в пропорцию и найдем $S_{полн}$: $$ \frac{36}{S_{полн}} = \frac{3}{5} $$ $$ S_{полн} = \frac{36 \cdot 5}{3} = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2 $$

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{осн}$): $$ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} $$

Выразим из этой формулы площадь одного основания: $$ 2 \cdot S_{осн} = S_{полн} - S_{бок} $$ $$ 2 \cdot S_{осн} = 60 - 36 = 24 \text{ см}^2 $$ $$ S_{осн} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}^2 $$

Поскольку призма правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$. $$ a^2 = 12 $$ $$ a = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \text{ см} $$

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ - периметр основания, а $h$ - высота призмы. Периметр квадрата с стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$. $$ S_{бок} = 4a \cdot h $$

Подставим известные значения $S_{бок}$ и $a$ в формулу и найдем высоту $h$: $$ 36 = 4 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot h $$ $$ 36 = 8\sqrt{3} \cdot h $$ $$ h = \frac{36}{8\sqrt{3}} = \frac{9}{2\sqrt{3}} $$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$: $$ h = \frac{9 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см} $$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.