Номер 338, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

338. Ребра основания прямого параллелепипеда имеют длины $a$ и $b$ и образуют угол $\alpha$. Высота параллелепипеда равна $l$. Найдите полную поверхность параллелепипеда, учитывая, что:

a) $a = 12$ см, $b = 13$ см, $l = 15$ см, $\alpha = 30^{\circ}$;

б) $a = 15$ дм, $b = 18$ дм, $l = 250$ см, $\alpha = 45^{\circ}$.

Полная поверхность прямого параллелепипеда ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей двух оснований ($2 \cdot S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

Общая формула: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Основанием является параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

Боковая поверхность представляет собой четыре прямоугольника, так как параллелепипед прямой, и ее площадь равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $l$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot l = 2(a+b)l$.

а) Дано: $a = 12$ см, $b = 13$ см, $l = 15$ см, $\alpha = 30^\circ$.

1. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot 13 \cdot \sin(30^\circ) = 156 \cdot \frac{1}{2} = 78 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)l = 2(12+13) \cdot 15 = 2 \cdot 25 \cdot 15 = 750 \text{ см}^2$.

3. Найдем полную поверхность:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 78 + 750 = 156 + 750 = 906 \text{ см}^2$.

Ответ: $906 \text{ см}^2$.

б) Дано: $a = 15$ дм, $b = 18$ дм, $l = 250$ см, $\alpha = 45^\circ$.

Сначала приведем все размеры к одной единице измерения — дециметрам (дм): $l = 250 \text{ см} = 25 \text{ дм}$.

1. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 15 \cdot 18 \cdot \sin(45^\circ) = 270 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 135\sqrt{2} \text{ дм}^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)l = 2(15+18) \cdot 25 = 2 \cdot 33 \cdot 25 = 1650 \text{ дм}^2$.

3. Найдем полную поверхность:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (135\sqrt{2}) + 1650 = (1650 + 270\sqrt{2}) \text{ дм}^2$.

Ответ: $(1650 + 270\sqrt{2}) \text{ дм}^2$.