Номер 334, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

334. В правильной четырехугольной призме сторона основания и высота соответственно равны $12\sqrt{2}$ см и 7 см. Найдите расстояние между диагональю призмы и стороной основания, которая не имеет с этой диагональю общих точек.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a = 12\sqrt{2}$ см. Высота призмы $h = AA_1 = 7$ см. Необходимо найти расстояние между диагональю призмы, например $AC_1$, и стороной основания, не имеющей с ней общих точек, например $CD$. Прямые $AC_1$ и $CD$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти с помощью метода ортогонального проецирования. Спроецируем обе прямые на плоскость, перпендикулярную одной из них. В качестве такой плоскости выберем плоскость боковой грани $ADD_1A_1$, так как она перпендикулярна ребру $CD$ (поскольку $CD \perp AD$ и $CD \perp DD_1$).

Проекцией прямой $CD$ на плоскость $(ADD_1)$ является точка $D$, так как $CD$ пересекает эту плоскость в точке $D$ и перпендикулярна ей. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $(ADD_1)$ является отрезок $AD_1$, так как точка $A$ принадлежит плоскости, а проекцией точки $C_1$ является точка $D_1$ ($C_1D_1 \perp (ADD_1)$).

Следовательно, искомое расстояние между прямыми $AC_1$ и $CD$ равно расстоянию от точки $D$ до прямой $AD_1$ в плоскости грани $ADD_1A_1$. Это расстояние является высотой $d$ прямоугольного треугольника $\triangle ADD_1$, проведенной из вершины прямого угла $D$ к гипотенузе $AD_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADD_1$. Его катеты равны $AD = a = 12\sqrt{2}$ см и $DD_1 = h = 7$ см. Длину гипотенузы $AD_1$ найдем по теореме Пифагора:

$AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 + 7^2} = \sqrt{144 \cdot 2 + 49} = \sqrt{288 + 49} = \sqrt{337}$ см.

Высоту $d$ к гипотенузе можно найти, выразив площадь треугольника двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DD_1 = \frac{1}{2} \cdot AD_1 \cdot d$. Отсюда получаем формулу для высоты:

$d = \frac{AD \cdot DD_1}{AD_1}$

Подставим известные значения, чтобы найти искомое расстояние:

$d = \frac{12\sqrt{2} \cdot 7}{\sqrt{337}} = \frac{84\sqrt{2}}{\sqrt{337}}$ см.

Ответ: $\frac{84\sqrt{2}}{\sqrt{337}}$ см.