Номер 328, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

328. Сечение правильной треугольной призмы проходит через ребро основания и является равнобедренным треугольником с углом $\alpha$ при вершине на боковом ребре (рис. 120). Определите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.

Рис. 120

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ – нижнее основание. Сечение проходит через ребро основания, например, $AC$, и пересекает боковое ребро $BB_1$ в точке $D$. Таким образом, сечением является треугольник $ADC$.

По условию, призма правильная, значит, ее основания – равносторонние треугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Треугольник $ADC$ является равнобедренным с вершиной на боковом ребре, следовательно, $AD = CD$. Угол при вершине $\angle ADC = \alpha$.

Искомый угол – это угол между плоскостью сечения $(ADC)$ и плоскостью основания $(ABC)$. Этот угол является двугранным углом при ребре $AC$. Для его нахождения построим линейный угол.

Проведем в плоскости основания медиану $BM$ к стороне $AC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, медиана $BM$ также является высотой, то есть $BM \perp AC$.

Проведем в плоскости сечения медиану $DM$ к стороне $AC$. Так как треугольник $ADC$ равнобедренный с основанием $AC$, медиана $DM$ также является высотой, то есть $DM \perp AC$.

По определению, угол между двумя перпендикулярами к общей прямой, проведенными в соответствующих плоскостях, является линейным углом двугранного угла. Следовательно, искомый угол $\phi$ равен углу $\angle DMB$.

Рассмотрим треугольник $DMB$. Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Точка $D$ лежит на $BB_1$, а отрезок $BM$ лежит в плоскости $ABC$. Отсюда следует, что $DB \perp BM$. Таким образом, треугольник $DMB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

В прямоугольном треугольнике $DMB$ косинус угла $\phi = \angle DMB$ определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:$\cos(\phi) = \frac{BM}{DM}$

Найдем длины отрезков $BM$ и $DM$. Пусть сторона основания призмы равна $a$.1. $BM$ – высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$. Ее длина равна $BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.2. $DM$ – высота равнобедренного треугольника $ADC$. Так как $DM$ является высотой, она также является и биссектрисой угла $\angle ADC$. Поэтому $\angle MDC = \frac{\alpha}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DMC$. В нем катет $MC$ равен половине стороны основания: $MC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\angle MDC) = \frac{MC}{DM}$, то есть $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{DM}$. Отсюда выразим $DM$: $DM = \frac{a/2}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2 \tan(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь подставим выражения для $BM$ и $DM$ в формулу для косинуса угла $\phi$:$\cos(\phi) = \frac{BM}{DM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2 \tan(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \tan(\frac{\alpha}{2})}{a} = \sqrt{3} \tan(\frac{\alpha}{2})$

Таким образом, искомый угол $\phi$ равен арккосинусу полученного выражения.

Ответ: $\arccos(\sqrt{3} \tan(\frac{\alpha}{2}))$