Номер 326, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

326. Найдите боковую, полную поверхности и объем прямого параллелепипеда, диагонали которого равны 51 см и 53 см, а стороны основания — 14 см и 22 см.

Боковая поверхность

Пусть стороны основания параллелепипеда равны $a = 14$ см и $b = 22$ см, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$. Высота прямого параллелепипеда — $H$. Диагонали самого параллелепипеда равны $D_1 = 51$ см и $D_2 = 53$ см.

Для прямого параллелепипеда квадрат его диагонали равен сумме квадратов высоты и соответствующей диагонали основания. Это следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, диагональю основания и диагональю параллелепипеда.
$D_1^2 = d_1^2 + H^2$
$D_2^2 = d_2^2 + H^2$

Также для любого параллелограмма (включая основание нашего параллелепипеда) справедливо, что сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$
Подставим значения сторон основания:
$d_1^2 + d_2^2 = 2(14^2 + 22^2) = 2(196 + 484) = 2 \cdot 680 = 1360$.

Теперь сложим два уравнения для диагоналей параллелепипеда:
$D_1^2 + D_2^2 = (d_1^2 + H^2) + (d_2^2 + H^2) = (d_1^2 + d_2^2) + 2H^2$
Подставим известные значения:
$51^2 + 53^2 = 1360 + 2H^2$
$2601 + 2809 = 1360 + 2H^2$
$5410 = 1360 + 2H^2$
$2H^2 = 5410 - 1360 = 4050$
$H^2 = 2025$
$H = \sqrt{2025} = 45$ см.

Боковая поверхность прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
$P_{осн} = 2(a + b) = 2(14 + 22) = 2 \cdot 36 = 72$ см.
$S_{бок} = 72 \cdot 45 = 3240 \text{ см}^2$.

Ответ: $3240 \text{ см}^2$.

Полная поверхность

Полная поверхность $S_{полн}$ вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Для нахождения площади основания найдем сначала длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$.
$d_1^2 = D_1^2 - H^2 = 2601 - 2025 = 576 \implies d_1 = \sqrt{576} = 24$ см.
$d_2^2 = D_2^2 - H^2 = 2809 - 2025 = 784 \implies d_2 = \sqrt{784} = 28$ см.

Площадь параллелограмма-основания можно найти, вычислив площадь треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю, и умножив ее на два. Возьмем треугольник со сторонами $a=14$ см, $b=22$ см и диагональю $d_1 = 24$ см. Вычислим его площадь по формуле Герона:
$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d_1)}$, где $p$ — полупериметр.
$p = \frac{14 + 22 + 24}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.
$S_{\triangle} = \sqrt{30(30-14)(30-22)(30-24)} = \sqrt{30 \cdot 16 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{23040} = \sqrt{2304 \cdot 10} = 48\sqrt{10} \text{ см}^2$.

Площадь основания $S_{осн}$ равна удвоенной площади этого треугольника:
$S_{осн} = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 48\sqrt{10} = 96\sqrt{10} \text{ см}^2$.

Теперь находим полную поверхность:
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 3240 + 2 \cdot 96\sqrt{10} = 3240 + 192\sqrt{10} \text{ см}^2$.

Ответ: $3240 + 192\sqrt{10} \text{ см}^2$.

Объем

Объем прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$.
Мы уже нашли площадь основания $S_{осн} = 96\sqrt{10} \text{ см}^2$ и высоту $H=45$ см.
$V = 96\sqrt{10} \cdot 45 = 4320\sqrt{10} \text{ см}^3$.

Ответ: $4320\sqrt{10} \text{ см}^3$.