Номер 332, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

332. Сечением правильной треугольной призмы является треугольник. Найдите площадь основания призмы и угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, учитывая, что стороны треугольного сечения равны:

Рис.

а) 24 см, 37 см и 37 см;

б) 40 см, 40 см и 41 см.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле площади правильного треугольника:$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Пусть $S_{сеч}$ — площадь треугольного сечения, а $\alpha$ — искомый угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Основание призмы является ортогональной проекцией сечения на плоскость основания. Согласно теореме о площади проекции, эти площади связаны соотношением:

$S_{осн} = S_{сеч} \cdot \cos \alpha$

Из этого соотношения можно найти угол $\alpha$, если известны $S_{осн}$ и $S_{сеч}$: $\cos \alpha = \frac{S_{осн}}{S_{сеч}}$.

Чтобы найти сторону основания $a$, воспользуемся связью между стороной основания, сторонами сечения ($s_1, s_2, s_3$) и площадью сечения. Можно доказать, что величина $x = a^2$ является решением следующего квадратного уравнения:

$3x^2 - 2(s_1^2+s_2^2+s_3^2)x + 16S_{сеч}^2 = 0$

Решим задачу для каждого из случаев.

а) Стороны треугольного сечения равны 24 см, 37 см и 37 см.

1. Найдем площадь сечения $S_{сеч}$. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник с основанием 24 см и боковыми сторонами 37 см. Найдем высоту $h_{сеч}$, проведенную к основанию:

$h_{сеч} = \sqrt{37^2 - (24/2)^2} = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{(37-12)(37+12)} = \sqrt{25 \cdot 49} = 5 \cdot 7 = 35$ см.

Площадь сечения:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 35 = 12 \cdot 35 = 420$ см².

2. Теперь найдем сторону основания $a$. Подставим известные значения в квадратное уравнение для $x=a^2$.

Стороны сечения: $s_1 = 24$, $s_2 = 37$, $s_3 = 37$.

Сумма квадратов сторон: $s_1^2+s_2^2+s_3^2 = 24^2 + 37^2 + 37^2 = 576 + 1369 + 1369 = 3314$.

Площадь в квадрате: $S_{сеч}^2 = 420^2 = 176400$.

Уравнение для $x = a^2$:

$3x^2 - 2(3314)x + 16(176400) = 0$

$3x^2 - 6628x + 2822400 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6628)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2822400 = 43930384 - 33868800 = 10061584$.

$\sqrt{D} = \sqrt{10061584} = 3172$.

$x = \frac{6628 \pm 3172}{6}$

Получаем два возможных решения для $a^2$:

$x_1 = a^2 = \frac{6628 - 3172}{6} = \frac{3456}{6} = 576$

$x_2 = a^2 = \frac{6628 + 3172}{6} = \frac{9800}{6} = \frac{4900}{3}$

Сторона основания призмы не может быть больше ни одной из сторон сечения ($a \le s_i$), поэтому $a^2 \le s_i^2$. Проверим это условие.

Для $a^2 = 576$: $576 \le 24^2=576$, $576 \le 37^2=1369$. Условие выполняется.

Для $a^2 = 4900/3 \approx 1633.3$: $24^2=576$, а $576 < 1633.3$. Это решение не подходит, так как $a^2$ не может быть больше $s_1^2$.

Следовательно, единственное верное решение $a^2 = 576$. Отсюда $a=24$ см.

3. Найдем площадь основания призмы $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{576 \sqrt{3}}{4} = 144\sqrt{3}$ см².

4. Найдем угол $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью основания:

$\cos \alpha = \frac{S_{осн}}{S_{сеч}} = \frac{144\sqrt{3}}{420} = \frac{12 \cdot 12\sqrt{3}}{12 \cdot 35} = \frac{12\sqrt{3}}{35}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{12\sqrt{3}}{35}\right)$.

Ответ: Площадь основания $144\sqrt{3}$ см², угол $\arccos\left(\frac{12\sqrt{3}}{35}\right)$.

б) Стороны треугольного сечения равны 40 см, 40 см и 41 см.

1. Найдем площадь сечения $S_{сеч}$ по формуле Герона. Сечение — равнобедренный треугольник со сторонами 40, 40, 41.

Полупериметр $p = \frac{40+40+41}{2} = \frac{121}{2}$.

$S_{сеч} = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)} = \sqrt{\frac{121}{2}\left(\frac{121}{2}-40\right)\left(\frac{121}{2}-40\right)\left(\frac{121}{2}-41\right)}$

$S_{сеч} = \sqrt{\frac{121}{2} \cdot \frac{41}{2} \cdot \frac{41}{2} \cdot \frac{39}{2}} = \frac{\sqrt{121 \cdot 41^2 \cdot 39}}{4} = \frac{11 \cdot 41 \sqrt{39}}{4} = \frac{451\sqrt{39}}{4}$ см².

2. Найдем сторону основания $a$.

Стороны сечения: $s_1 = 40$, $s_2 = 40$, $s_3 = 41$.

Сумма квадратов сторон: $s_1^2+s_2^2+s_3^2 = 40^2 + 40^2 + 41^2 = 1600 + 1600 + 1681 = 4881$.

$16S_{сеч}^2 = 16 \cdot \left(\frac{451\sqrt{39}}{4}\right)^2 = 16 \cdot \frac{451^2 \cdot 39}{16} = 203401 \cdot 39 = 7932639$.

Уравнение для $x = a^2$:

$3x^2 - 2(4881)x + 7932639 = 0$

$3x^2 - 9762x + 7932639 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$x^2 - 3254x + 2644213 = 0$

Дискриминант $D = (-3254)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2644213 = 10588516 - 10576852 = 11664$.

$\sqrt{D} = \sqrt{11664} = 108$.

$x = \frac{3254 \pm 108}{2}$

Получаем два возможных решения для $a^2$:

$x_1 = a^2 = \frac{3254 - 108}{2} = \frac{3146}{2} = 1573$

$x_2 = a^2 = \frac{3254 + 108}{2} = \frac{3362}{2} = 1681$

Проверим условие $a^2 \le s_i^2$. Квадраты сторон сечения: $40^2=1600$, $41^2=1681$.

Для $a^2 = 1573$: $1573 \le 1600$ и $1573 \le 1681$. Условие выполняется.

Для $a^2 = 1681$: $40^2=1600$, а $1600 < 1681$. Это решение не подходит, так как $a^2$ не может быть больше $s_1^2$.

Следовательно, единственное верное решение $a^2 = 1573$.

3. Найдем площадь основания призмы $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1573\sqrt{3}}{4}$ см².

4. Найдем угол $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью основания:

$\cos \alpha = \frac{S_{осн}}{S_{сеч}} = \frac{1573\sqrt{3}/4}{451\sqrt{39}/4} = \frac{1573\sqrt{3}}{451\sqrt{39}} = \frac{1573\sqrt{3}}{451\sqrt{3}\sqrt{13}} = \frac{1573}{451\sqrt{13}}$

Заметим, что $1573 = 11 \cdot 143$ и $451 = 11 \cdot 41$.

$\cos \alpha = \frac{11 \cdot 143}{11 \cdot 41 \sqrt{13}} = \frac{143}{41\sqrt{13}}$

Также $143 = 11 \cdot 13$.

$\cos \alpha = \frac{11 \cdot 13}{41\sqrt{13}} = \frac{11\sqrt{13}}{41}$.

$\alpha = \arccos\left(\frac{11\sqrt{13}}{41}\right)$.

Ответ: Площадь основания $\frac{1573\sqrt{3}}{4}$ см², угол $\arccos\left(\frac{11\sqrt{13}}{41}\right)$.