Номер 325, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

325. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 20 см, а попарные расстояния между ними — 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы и ее объем.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $P_{перп}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра. Перпендикулярное сечение призмы (сечение плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам) представляет собой треугольник, сторонами которого являются попарные расстояния между боковыми ребрами. По условию, стороны этого треугольника равны $a = 13$ см, $b = 14$ см и $c = 15$ см.

Сначала найдем периметр перпендикулярного сечения:$P_{перп} = a + b + c = 13 + 14 + 15 = 42$ см.

Длина бокового ребра по условию равна $l = 20$ см. Теперь вычислим площадь боковой поверхности:$S_{бок} = P_{перп} \cdot l = 42 \cdot 20 = 840$ см².

Ответ: 840 см².

Объем

Объем наклонной призмы можно найти по формуле $V = S_{перп} \cdot l$, где $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра. Для вычисления объема нам необходимо найти площадь треугольника, являющегося перпендикулярным сечением.

Для нахождения площади треугольника со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см и $c = 15$ см воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь перпендикулярного сечения:$S_{перп} = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 = 21 \cdot 4 = 84$ см².

Зная площадь перпендикулярного сечения $S_{перп} = 84$ см² и длину бокового ребра $l = 20$ см, найдем объем призмы:$V = S_{перп} \cdot l = 84 \cdot 20 = 1680$ см³.

Ответ: 1680 см³.