Номер 322, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

322. Можно ли утверждать, что призма является прямой, если в ее основании лежит выпуклый многоугольник и четыре грани являются прямоугольниками?

Да, можно утверждать, что призма является прямой. Ниже представлено развернутое доказательство этого факта.

Определения и ключевые теоремы

Прямая призма — это призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований. Следствием этого является то, что все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости гласит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся (непараллельным) прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Анализ условий задачи

В условии сказано, что четыре боковые грани призмы являются прямоугольниками. Боковая грань является прямоугольником тогда и только тогда, когда боковые ребра, образующие эту грань, перпендикулярны ребру основания, которое также является стороной этой грани.

Пусть $l$ — произвольное боковое ребро призмы (все они параллельны и равны). Пусть $e_1, e_2, e_3, e_4$ — четыре ребра основания, для которых соответствующие боковые грани являются прямоугольниками. Это означает, что боковое ребро $l$ перпендикулярно каждому из этих четырех ребер основания: $l \perp e_1$, $l \perp e_2$, $l \perp e_3$ и $l \perp e_4$.

Свойство ребер выпуклого многоугольника

Ребра $e_1, e_2, e_3, e_4$ лежат в плоскости основания. Чтобы доказать, что боковое ребро $l$ перпендикулярно всей плоскости основания, нам нужно, согласно признаку перпендикулярности, найти среди этих четырех ребер два непараллельных.

Докажем, что в выпуклом многоугольнике не может быть трех или более попарно параллельных ребер. Предположим противное: пусть существуют три параллельных ребра $a, b$ и $c$. Они лежат на трех различных параллельных прямых $l_a, l_b$ и $l_c$. Без ограничения общности, пусть прямая $l_b$ лежит между прямыми $l_a$ и $l_c$. По определению выпуклого многоугольника, все его вершины (кроме вершин самого ребра) должны лежать по одну сторону от прямой, содержащей это ребро. Однако для ребра $b$, лежащего на прямой $l_b$, вершины ребра $a$ находятся по одну сторону от $l_b$, а вершины ребра $c$ — по другую. Это противоречит условию выпуклости.

Таким образом, в выпуклом многоугольнике может быть не более двух ребер, параллельных заданному направлению. Следовательно, среди любых трех ребер (а значит, и среди четырех) обязательно найдутся два непараллельных.

Заключение

Поскольку среди четырех ребер основания $e_1, e_2, e_3, e_4$ обязательно найдутся как минимум два непараллельных ребра (назовем их $e_i$ и $e_j$), а боковое ребро $l$ перпендикулярно им обоим ($l \perp e_i$ и $l \perp e_j$), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, боковое ребро $l$ перпендикулярно всей плоскости основания.

А если боковые ребра призмы перпендикулярны ее основанию, то такая призма по определению является прямой.

Ответ: Да, можно утверждать, что призма является прямой.