Номер 315, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

315. Разверткой боковой поверхности правильной четырехугольной призмы является квадрат. При этом ломаная на боковой поверхности изображается диагональю квадрата (рис. 116). Определите углы между соседними звеньями ломаной.

Рис. 116

Пусть сторона основания правильной четырехугольной призмы равна $a$, а высота призмы равна $h$. Боковая поверхность призмы состоит из четырех одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $h$. Развертка боковой поверхности представляет собой один большой прямоугольник, составленный из этих четырех, со сторонами $4a$ (периметр основания) и $h$.

По условию задачи, эта развертка является квадратом. Это означает, что ее стороны равны: $h = 4a$

Ломаная на поверхности призмы в развертке представляет собой диагональ этого квадрата. Квадрат имеет размеры $4a \times 4a$. Диагональ соединяет противоположные вершины. Эта диагональ пересекает три вертикальные линии, которые являются ребрами призмы на развертке. Таким образом, ломаная состоит из четырех звеньев.

Рассмотрим два соседних звена ломаной. Они встречаются на ребре призмы. Поскольку призма правильная, соседние боковые грани перпендикулярны друг другу.

Для нахождения угла между звеньями введем трехмерную систему координат. Поместим одно из оснований призмы в плоскость $Oxy$, так что вершины основания имеют координаты $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$. Высота призмы $h=4a$ отложена вдоль оси $Oz$.

Ломаная начинается в точке $P_0(0,0,0)$. Первое звено лежит на грани $ABB'A'$, где $A'(0,0,4a)$ и $B'(a,0,4a)$. На развертке это звено соединяет точку $(0,0)$ с точкой на первой вертикальной линии $x=a$. Так как диагональ квадрата $4a \times 4a$ имеет уравнение $y=x$, то точка пересечения будет иметь координаты $(a,a)$. В трехмерном пространстве это соответствует точке $P_1(a,0,a)$ на ребре $BB'$.

Второе звено лежит на следующей грани $BCC'B'$, где $C'(a,a,4a)$. На развертке оно соединяет точку $(a,a)$ с точкой на второй вертикальной линии $x=2a$. Координаты этой точки на развертке - $(2a,2a)$. В трехмерном пространстве это соответствует точке $P_2(a,a,2a)$ на ребре $CC'$.

Мы ищем угол между звеньями $P_0P_1$ и $P_1P_2$. Найдем векторы, соответствующие этим звеньям, исходящие из общей точки $P_1$: $\vec{v_1} = \vec{P_1P_0}$ и $\vec{v_2} = \vec{P_1P_2}$.

Координаты векторов: $\vec{v_1} = P_0 - P_1 = (0-a, 0-0, 0-a) = (-a, 0, -a)$ $\vec{v_2} = P_2 - P_1 = (a-a, a-0, 2a-a) = (0, a, a)$

Угол $\alpha$ между этими векторами найдем с помощью скалярного произведения: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

Вычислим скалярное произведение: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a + (-a) \cdot a = -a^2$

Вычислим длины векторов: $|\vec{v_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ $|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{-a^2}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{-a^2}{2a^2} = -\frac{1}{2}$

Отсюда угол $\alpha$: $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$

В силу симметрии, углы между всеми соседними звеньями ломаной будут одинаковы.

Ответ: $120^\circ$.