Номер 312, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

312. Найдите боковую и полную поверхности, а так- Рис. 115
же объем правильной призмы, учитывая, что ее
боковое ребро равно 15 см, площадь основания — $16+12\sqrt{2}$ $\text{см}^2$,
а периметр перпендикулярного сечения — $8\sqrt{2}$ $\text{см}$.

В условии задачи говорится о «правильной призме». Обычно это означает прямую призму, в основании которой лежит правильный многоугольник. Однако, если проверить это предположение, окажется, что не существует правильного многоугольника с заданными в условии площадью ($16 + 12\sqrt{2}$ см²) и периметром ($8\sqrt{2}$ см). Следовательно, в данном контексте под «правильной призмой» следует понимать «прямую призму», то есть призму, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. При таком допущении задача имеет единственное решение.

Для прямой призмы высота $h$ равна боковому ребру $l$, а периметр перпендикулярного сечения $P_{сеч}$ равен периметру основания $P_{осн}$.

Используем данные из условия:

Боковое ребро $l = 15$ см, следовательно, высота призмы $h = 15$ см.

Площадь основания $S_{осн} = 16 + 12\sqrt{2}$ см².

Периметр перпендикулярного сечения $P_{сеч} = 8\sqrt{2}$ см, следовательно, периметр основания $P_{осн} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим искомые величины.

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле как произведение периметра основания на высоту.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Подставляем наши значения:

$S_{бок} = 8\sqrt{2} \cdot 15 = 120\sqrt{2}$

Ответ: $120\sqrt{2}$ см².

Полная поверхность

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Подставляем известные значения:

$S_{полн} = 120\sqrt{2} + 2(16 + 12\sqrt{2}) = 120\sqrt{2} + 32 + 24\sqrt{2} = 32 + 144\sqrt{2}$

Ответ: $32 + 144\sqrt{2}$ см².

Объем

Объем призмы ($V$) равен произведению площади основания на высоту.

$V = S_{осн} \cdot h$

Подставляем известные значения:

$V = (16 + 12\sqrt{2}) \cdot 15 = 16 \cdot 15 + 12\sqrt{2} \cdot 15 = 240 + 180\sqrt{2}$

Ответ: $240 + 180\sqrt{2}$ см³.