Номер 311, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

311. Найдите боковую и полную поверхности призмы, учитывая, что ее боковое ребро равно 15 см, площадь основания — $48 \text{ см}^2$, а периметр перпендикулярного сечения — 64 см. Определите объем этой призмы.

Боковая поверхность призмы

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра ее перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$) на длину бокового ребра ($l$).

Согласно условию задачи:

• Периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp} = 64$ см.
• Длина бокового ребра $l = 15$ см.

Подставляем значения в формулу:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 64 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 960 \text{ см}^2$.

Ответ: Боковая поверхность призмы равна $960 \text{ см}^2$.

Полная поверхность призмы

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания ($S_{осн}$).

Нам известны:

• Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 960 \text{ см}^2$ (вычислена выше).
• Площадь основания $S_{осн} = 48 \text{ см}^2$ (из условия).

Формула для расчета полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Подставляем значения:

$S_{полн} = 960 \text{ см}^2 + 2 \cdot 48 \text{ см}^2 = 960 \text{ см}^2 + 96 \text{ см}^2 = 1056 \text{ см}^2$.

Ответ: Полная поверхность призмы равна $1056 \text{ см}^2$.

Объем призмы

Объем призмы ($V$) вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

В условии задачи не указано, является ли призма прямой или наклонной. Для наклонной призмы ее высота $H$ не равна боковому ребру $l$, и для ее нахождения недостаточно данных. Однако, подобные задачи в учебных курсах часто подразумевают простейший случай, который имеет однозначное решение.

Таким случаем является прямая призма. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны основаниям, поэтому высота призмы равна длине бокового ребра: $H = l$.

Примем, что призма прямая. Тогда:

$H = l = 15$ см.

Теперь мы можем вычислить объем:

$V = S_{осн} \cdot H = 48 \text{ см}^2 \cdot 15 \text{ см} = 720 \text{ см}^3$.

Ответ: Объем призмы (в предположении, что она прямая) равен $720 \text{ см}^3$.