Номер 304, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

304. Определите, сколько прямоугольных граней может иметь наклонная:

а) треугольная призма;

б) четырехугольная призма;

в) шестиугольная призма (рис. 111).

Рис. 111

Боковая грань призмы является параллелограммом. Боковая грань, образованная ребром основания, которое можно представить вектором $\vec{a}$, и боковым ребром (вектором $\vec{l}$), является прямоугольником тогда и только тогда, когда эти ребра перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{l} = 0$.

В наклонной призме боковые ребра не перпендикулярны плоскости основания. Пусть $\vec{p}$ — это ортогональная проекция вектора бокового ребра $\vec{l}$ на плоскость основания. Так как призма наклонная, $\vec{p}$ является вектором ненулевой длины. Условие перпендикулярности $\vec{a} \perp \vec{l}$ эквивалентно условию перпендикулярности ребра основания $\vec{a}$ и проекции $\vec{p}$, то есть $\vec{a} \perp \vec{p}$.

Все ребра основания, перпендикулярные одному и тому же вектору $\vec{p}$ в плоскости, должны быть параллельны друг другу. Таким образом, количество прямоугольных боковых граней равно максимальному количеству параллельных между собой ребер в многоугольнике основания, для которых можно подобрать перпендикулярное им направление наклона призмы (направление вектора $\vec{p}$).

а) треугольная призма

Основанием является треугольник. В треугольнике нет параллельных сторон. Следовательно, только одна сторона основания может быть перпендикулярна направлению проекции бокового ребра $\vec{p}$. Это означает, что треугольная наклонная призма может иметь не более одной прямоугольной грани. Если направление проекции бокового ребра не перпендикулярно ни одной из сторон основания, то прямоугольных граней не будет совсем. Таким образом, наклонная треугольная призма может иметь 0 или 1 прямоугольную грань.

Ответ: 0 или 1.

б) четырехугольная призма

Основанием является четырехугольник. Все ребра основания, соответствующие прямоугольным граням, должны быть параллельны. В выпуклом четырехугольнике может быть не более двух параллельных друг другу сторон (например, в трапеции или параллелограмме). Следовательно, наклонная четырехугольная призма может иметь не более двух прямоугольных граней. Такая ситуация возможна, если основание имеет пару параллельных сторон, и проекция бокового ребра перпендикулярна этим сторонам. Также возможно иметь одну прямоугольную грань (если проекция перпендикулярна только одной стороне, и у нее нет параллельной) или ни одной. Таким образом, наклонная четырехугольная призма может иметь 0, 1 или 2 прямоугольные грани.

Ответ: 0, 1 или 2.

в) шестиугольная призма

Основанием является шестиугольник. Все ребра основания, соответствующие прямоугольным граням, должны быть параллельны. В выпуклом шестиугольнике, как и в любом выпуклом многоугольнике, может быть не более двух параллельных друг другу сторон. Следовательно, наклонная шестиугольная призма может иметь не более двух прямоугольных граней. Такая ситуация возможна, если основание имеет пару параллельных сторон (например, правильный шестиугольник имеет три такие пары), и проекция бокового ребра перпендикулярна этим сторонам. Также возможно иметь одну или ноль прямоугольных граней, если выбрать направление проекции соответствующим образом. Таким образом, наклонная шестиугольная призма может иметь 0, 1 или 2 прямоугольные грани.

Ответ: 0, 1 или 2.