Номер 298, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

298. Плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$, проходит через середины ребер $AB$ и $CC_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сделайте соответствующий рисунок в тетради, постройте на нем сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ и найдите, в каком отношении плоскость $\alpha$ разделяет ребро $DD_1$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в точке $A$ и базисными векторами $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$. В этой системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты (радиус-векторы):

• $A(0)$
• $B(\vec{b})$
• $C(\vec{a} + \vec{b})$
• $D(\vec{a})$
• $A_1(\vec{c})$
• $B_1(\vec{b} + \vec{c})$
• $C_1(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
• $D_1(\vec{a} + \vec{c})$

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через середины ребер $AB$ и $CC_1$. Обозначим эти точки $M$ и $N$ соответственно.

• Точка $M$ — середина $AB$, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{r}_M = \frac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_B) = \frac{1}{2}(0 + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{b}$.
• Точка $N$ — середина $CC_1$, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{r}_N = \frac{1}{2}(\vec{r}_C + \vec{r}_{C_1}) = \frac{1}{2}((\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})) = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD_1$. Найдем направляющий вектор этой прямой: $\vec{u} = \vec{BD_1} = \vec{r}_{D_1} - \vec{r}_B = (\vec{a} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Так как плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$, то вектор $\vec{MN}$ лежит в этой плоскости. Найдем его: $\vec{v} = \vec{MN} = \vec{r}_N - \vec{r}_M = (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{b} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Теперь мы можем записать параметрическое уравнение плоскости $\alpha$. Плоскость проходит через точку $M$ и параллельна векторам $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Уравнение плоскости имеет вид: $\vec{r}(s, t) = \vec{r}_M + s\vec{u} + t\vec{v}$, где $s$ и $t$ — параметры. $\vec{r}(s, t) = \frac{1}{2}\vec{b} + s(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) + t(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c})$ Сгруппировав по базисным векторам, получим: $\vec{r}(s, t) = (s + t)\vec{a} + (\frac{1}{2} - s + \frac{t}{2})\vec{b} + (s + \frac{t}{2})\vec{c}$

Для построения сечения найдем точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами параллелепипеда.

1. Точки $M$ на $AB$ и $N$ на $CC_1$ даны по условию.
2. Найдем точку пересечения $P$ с ребром $AA_1$. Уравнение прямой $AA_1$: $\vec{r}(p) = p\vec{c}$, $p \in [0, 1]$. Приравниваем $\vec{r}(s, t) = \vec{r}(p)$: $(s + t)\vec{a} + (\frac{1}{2} - s + \frac{t}{2})\vec{b} + (s + \frac{t}{2})\vec{c} = p\vec{c}$. Получаем систему: $\begin{cases} s + t = 0 \\ \frac{1}{2} - s + \frac{t}{2} = 0 \\ s + \frac{t}{2} = p \end{cases} \implies \begin{cases} t = -s \\ 1 - 2s + t = 0 \\ p = s + t/2 \end{cases} \implies \begin{cases} t = -s \\ 1 - 3s = 0 \\ p = s - s/2 \end{cases} \implies \begin{cases} s = 1/3 \\ t = -1/3 \\ p = 1/6 \end{cases}$ Точка $P$ делит ребро $AA_1$ в отношении $AP:PA_1 = 1:5$.
3. Найдем точку пересечения $L$ с ребром $BC$. Уравнение прямой $BC$: $\vec{r}(p) = \vec{b} + p\vec{a}$, $p \in [0, 1]$. Приравниваем $\vec{r}(s, t) = \vec{r}(p)$: $(s + t)\vec{a} + (\frac{1}{2} - s + \frac{t}{2})\vec{b} + (s + \frac{t}{2})\vec{c} = p\vec{a} + \vec{b}$. Система: $\begin{cases} s + t = p \\ \frac{1}{2} - s + \frac{t}{2} = 1 \\ s + \frac{t}{2} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} p = s+t \\ -2s + t = 1 \\ t = -2s \end{cases} \implies \begin{cases} p = s-2s \\ -4s = 1 \\ t = -2s \end{cases} \implies \begin{cases} s = -1/4 \\ t = 1/2 \\ p = 1/4 \end{cases}$ Точка $L$ делит ребро $BC$ в отношении $BL:LC = 1:3$.
4. Найдем точку пересечения $K$ с ребром $DD_1$. Этот пункт подробно разобран в следующей части. Результат: точка $K$ делит ребро $DD_1$ в отношении $DK:KD_1 = 5:1$.

Таким образом, сечение является пятиугольником $PMLNK$. Для его построения на рисунке необходимо последовательно соединить точки: $P$ на $AA_1$, $M$ на $AB$, $L$ на $BC$, $N$ на $CC_1$ и $K$ на $DD_1$.

Чтобы найти точку $K$ — точку пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $DD_1$, запишем параметрическое уравнение прямой $DD_1$. Любая точка на прямой $DD_1$ имеет вид: $\vec{r}(p) = \vec{r}_D + p(\vec{r}_{D_1} - \vec{r}_D) = \vec{a} + p\vec{c}$, где параметр $p \in [0, 1]$.

Приравняем уравнение точки на плоскости $\alpha$ и точки на прямой $DD_1$: $(s + t)\vec{a} + (\frac{1}{2} - s + \frac{t}{2})\vec{b} + (s + \frac{t}{2})\vec{c} = \vec{a} + p\vec{c}$.

Так как векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны (линейно независимы), мы можем приравнять коэффициенты при них:

$\begin{cases} s + t = 1 & (1) \\ \frac{1}{2} - s + \frac{t}{2} = 0 & (2) \\ s + \frac{t}{2} = p & (3) \end{cases}$

Решим систему уравнений относительно $s$, $t$ и $p$. Из уравнения (1) выразим $t$: $t = 1 - s$. Подставим это выражение в уравнение (2): $\frac{1}{2} - s + \frac{1 - s}{2} = 0$ Умножим обе части на 2: $1 - 2s + 1 - s = 0$ $2 - 3s = 0$ $s = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $t$: $t = 1 - s = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Найденные значения $s$ и $t$ подставим в уравнение (3), чтобы найти $p$: $p = s + \frac{t}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1/3}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Значение параметра $p = \frac{5}{6}$ показывает, в каком отношении точка пересечения $K$ делит отрезок $DD_1$, считая от точки $D$. $DK = p \cdot DD_1 = \frac{5}{6} DD_1$. $KD_1 = (1-p) \cdot DD_1 = (1 - \frac{5}{6}) DD_1 = \frac{1}{6} DD_1$. Следовательно, искомое отношение равно: $\frac{DK}{KD_1} = \frac{5/6}{1/6} = \frac{5}{1}$.

Ответ: Плоскость $\alpha$ разделяет ребро $DD_1$ в отношении $5:1$, считая от точки $D$.