Номер 294, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

294. Плоскость $\alpha$ проходит через середины ребер $AB$, $CB$, $DD_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте в тетради сечение параллелепипеда плоскостью $\alpha$. В каком отношении плоскость $\alpha$ разделяет ребро $CC_1$ и диагональ $B_1D$?

Постройте в тетради сечение параллелепипеда плоскостью α.

Для построения сечения воспользуемся методом следов.

1. Обозначим заданные точки: M — середина ребра AB, N — середина ребра CB (или BC), P — середина ребра DD₁.

2. Точки M и N лежат в одной плоскости нижнего основания (ABCD). Проведем через них прямую MN. Это след секущей плоскости α на плоскости ABCD.

3. Продлим прямую MN в плоскости ABCD до пересечения с прямой DC. Обозначим точку их пересечения как E. Точка E принадлежит как секущей плоскости α (так как лежит на прямой MN), так и плоскости боковой грани CDD₁C₁ (так как лежит на прямой DC).

4. В плоскости грани CDD₁C₁ у нас теперь есть две точки, принадлежащие сечению: P и E. Проведем через них прямую PE. Эта прямая пересечет ребро CC₁ в некоторой точке R. Отрезок PR является частью искомого сечения.

5. Аналогично, продлим прямую MN до пересечения с прямой DA. Обозначим точку их пересечения как F. Точка F принадлежит как секущей плоскости α, так и плоскости боковой грани ADD₁A₁.

6. В плоскости грани ADD₁A₁ у нас есть две точки сечения: P и F. Проведем через них прямую PF. Эта прямая пересечет ребро AA₁ в некоторой точке Q. Отрезок PQ является частью искомого сечения.

7. Теперь у нас есть все вершины сечения, лежащие на ребрах параллелепипеда: M, N, R, P, Q. Соединим их последовательно: N-M, M-Q, Q-P, P-R, R-N.

Искомое сечение — это пятиугольник NMQPR.

Ответ: Сечением является пятиугольник NMQPR, построенный указанным методом.

В каком отношении плоскость α разделяет ребро CC₁ и диагональ B₁D?

Для нахождения отношений воспользуемся методом координат. Введем систему координат с началом в точке D(0, 0, 0). Направим оси координат вдоль ребер: ось Ox вдоль DA, ось Oy вдоль DC, ось Oz вдоль DD₁. Для простоты будем считать параллелепипед единичным кубом (это не повлияет на искомые отношения). Тогда координаты вершин будут: $D(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $C(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $D_1(0,0,1)$, $A_1(1,0,1)$, $C_1(0,1,1)$, $B_1(1,1,1)$.

Найдем координаты заданных точек M, N, P:

• M — середина AB: $M(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(1, \frac{1}{2}, 0)$
• N — середина CB: $N(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = N(\frac{1}{2}, 1, 0)$
• P — середина DD₁: $P(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = P(0, 0, \frac{1}{2})$

Составим уравнение плоскости α, проходящей через точки M, N, P. Общий вид уравнения плоскости: $ax+by+cz+d=0$. Подставив координаты точек, получим систему уравнений:
$a \cdot 1 + b \cdot \frac{1}{2} + c \cdot 0 + d = 0$
$a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot 1 + c \cdot 0 + d = 0$
$a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot \frac{1}{2} + d = 0$
Решая эту систему, выразим коэффициенты, например, через d. Из третьего уравнения получаем $c = -2d$. Из первых двух уравнений находим $a = b = -\frac{2}{3}d$. Подставим в уравнение плоскости: $-\frac{2}{3}dx - \frac{2}{3}dy - 2dz + d = 0$. Разделив на $-d/3$ (при $d \neq 0$), получим уравнение плоскости α: $2x + 2y + 6z - 3 = 0$.

1. Отношение для ребра CC₁:
Найдем точку пересечения плоскости α с ребром CC₁. Ребро CC₁ задается уравнениями $x=0$, $y=1$ для $z \in [0, 1]$. Подставим эти значения в уравнение плоскости: $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 6z - 3 = 0$
$2 + 6z - 3 = 0$
$6z = 1 \implies z = \frac{1}{6}$
Точка пересечения R имеет координаты $(0, 1, \frac{1}{6})$. Вершины ребра: C(0, 1, 0) и C₁(0, 1, 1). Тогда отношение, в котором точка R делит ребро CC₁, равно: $CR : RC_1 = (\frac{1}{6} - 0) : (1 - \frac{1}{6}) = \frac{1}{6} : \frac{5}{6} = 1:5$.

2. Отношение для диагонали B₁D:
Найдем точку пересечения плоскости α с диагональю B₁D. Координаты вершин диагонали: B₁(1, 1, 1) и D(0, 0, 0). Параметрическое уравнение прямой B₁D, начинающееся в точке B₁, можно записать как: $x = 1 - t$
$y = 1 - t$
$z = 1 - t$
где параметр $t \in [0, 1]$. Подставим эти выражения в уравнение плоскости α: $2(1-t) + 2(1-t) + 6(1-t) - 3 = 0$
$10(1-t) - 3 = 0$
$10 - 10t = 3 \implies 10t = 7 \implies t = \frac{7}{10}$.
Это значение параметра $t$ показывает, в каком отношении точка пересечения K делит отрезок B₁D, считая от точки B₁. Длина отрезка B₁K составляет $\frac{7}{10}$ от длины всей диагонали B₁D. Соответственно, длина отрезка KD составляет $1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ от длины B₁D. Таким образом, отношение $B_1K : KD = \frac{7}{10} : \frac{3}{10} = 7:3$.

Ответ: Плоскость α разделяет ребро CC₁ в отношении 1:5, считая от точки C, и диагональ B₁D в отношении 7:3, считая от точки B₁.