Номер 295, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

295. Плоскость $\alpha$ проходит через точки пересечения медиан граней $ABC$, $ABD, BCD$ треугольной пирамиды $ABCD$ (рис. 108). Определите, в каком отношении плоскость $\alpha$ разделяет ребро $BD$.

$\underline{S}$

Рис. 108

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в вершине $D$ пирамиды $ABCD$. Положение вершин $A, B, C$ зададим радиус-векторами $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{c}$. Поскольку $A, B, C, D$ — вершины тетраэдра, векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ некомпланарны (линейно независимы).

Найдем радиус-векторы точек пересечения медиан (центроидов) $M_1, M_2, M_3$ граней $ABC, ABD, BCD$ соответственно. Радиус-вектор центроида треугольника равен одной трети от суммы радиус-векторов его вершин.

• Для грани $ABC$ с вершинами в точках $A, B, C$ (с радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ относительно точки $D$), радиус-вектор центроида $M_1$ равен: $\vec{DM_1} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$
• Для грани $ABD$ с вершинами в точках $A, B, D$ (с радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{0}$), радиус-вектор центроида $M_2$ равен: $\vec{DM_2} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DD}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{0}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}$
• Для грани $BCD$ с вершинами в точках $B, C, D$ (с радиус-векторами $\vec{b}, \vec{c}, \vec{0}$), радиус-вектор центроида $M_3$ равен: $\vec{DM_3} = \frac{\vec{DB} + \vec{DC} + \vec{DD}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{0}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$

Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M_1, M_2, M_3$. Уравнение этой плоскости можно записать в векторно-параметрическом виде. Пусть $P$ — произвольная точка плоскости $\alpha$. Тогда ее радиус-вектор $\vec{DP}$ можно выразить через радиус-вектор одной из точек (например, $M_2$) и два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости (например, $\vec{M_2M_1}$ и $\vec{M_2M_3}$):$\vec{DP} = \vec{DM_2} + s \cdot \vec{M_2M_1} + t \cdot \vec{M_2M_3}$, где $s$ и $t$ — скалярные параметры.

Найдем векторы, лежащие в плоскости $\alpha$:

$\vec{M_2M_1} = \vec{DM_1} - \vec{DM_2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3} = \frac{\vec{c}}{3}$

$\vec{M_2M_3} = \vec{DM_3} - \vec{DM_2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{3}$

Подставив эти векторы в уравнение плоскости, получим:

$\vec{DP} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3} + s \frac{\vec{c}}{3} + t \frac{\vec{c} - \vec{a}}{3} = \frac{1}{3}((1-t)\vec{a} + \vec{b} + (s+t)\vec{c})$

Теперь нам нужно найти точку пересечения $K$ плоскости $\alpha$ с ребром $BD$. Точка $K$ лежит на прямой $BD$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{DK}$ коллинеарен вектору $\vec{DB}$:

$\vec{DK} = k \cdot \vec{DB} = k\vec{b}$

Здесь $k$ — это скалярный параметр, показывающий, в каком отношении точка $K$ делит отрезок $DB$, считая от вершины $D$.

Поскольку точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$, ее радиус-вектор должен удовлетворять уравнению плоскости. Приравняем выражения для радиус-вектора точки $K$:

$k\vec{b} = \frac{1}{3}((1-t)\vec{a} + \vec{b} + (s+t)\vec{c})$

Перенесем все члены в одну сторону и сгруппируем по базисным векторам $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

$3k\vec{b} = (1-t)\vec{a} + \vec{b} + (s+t)\vec{c}$

$(1-t)\vec{a} + (1-3k)\vec{b} + (s+t)\vec{c} = \vec{0}$

Так как векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ линейно независимы, это равенство возможно только в том случае, если все коэффициенты при них равны нулю:

$\begin{cases} 1 - t = 0 \\ 1 - 3k = 0 \\ s + t = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $t=1$. Подставляя во третье уравнение, получаем $s+1=0$, откуда $s=-1$. Из второго уравнения находим $1-3k=0$, откуда $k = \frac{1}{3}$.

Таким образом, радиус-вектор точки пересечения $K$ равен $\vec{DK} = \frac{1}{3}\vec{DB}$. Это означает, что точка $K$ делит ребро $DB$ так, что длина отрезка $DK$ составляет одну треть длины всего ребра $DB$.

$DK = \frac{1}{3}DB$

Тогда оставшаяся часть ребра, отрезок $BK$, будет равна:

$BK = DB - DK = DB - \frac{1}{3}DB = \frac{2}{3}DB$

Следовательно, плоскость $\alpha$ разделяет ребро $BD$ в отношении:

$BK : KD = \frac{2}{3}DB : \frac{1}{3}DB = 2:1$

Ответ: 2:1.