Номер 293, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

293. Плоскость $\alpha$ пересекает ребра $BC, CD, DA$ треугольной пирамиды $ABCD$ в точках $U, V, W$ так, что $BU : UC = 1 : 1, CV : VD = 1 : 2, DW : WA = 3 : 1$. Сделайте соответствующий рисунок в тетради, постройте на нем сечение пирамиды $ABCD$ плоскостью $\alpha$ и найдите, в каком отношении плоскость $\alpha$ разделяет ребро $AB$.

Построение сечения пирамиды плоскостью α

Сечение строится методом следов. Плоскость сечения α задана тремя точками U, V, W, лежащими на ребрах BC, CD и DA соответственно.

1. Точки U и V лежат в одной грани BCD. Соединив их, получаем отрезок UV — сторону сечения.
2. Точки V и W лежат в одной грани ACD. Соединив их, получаем отрезок VW — еще одну сторону сечения.
3. Чтобы найти точку пересечения плоскости α с ребром AB, найдем след плоскости α на плоскости грани ABD. Для этого нам нужны две точки, принадлежащие одновременно плоскости α и плоскости (ABD). Одна такая точка у нас уже есть — это точка W.
4. Найдем вторую точку. Прямая UV лежит в плоскости α. Прямая BD лежит в плоскости (ABD). Обе эти прямые лежат в плоскости грани BCD. Найдем их точку пересечения. Продлим отрезок UV до пересечения с продолжением прямой BD. Обозначим эту точку P. Так как $P \in UV$, то $P \in \alpha$. Так как $P \in BD$, то $P \in (ABD)$. Таким образом, точка P является второй точкой, принадлежащей и плоскости α, и плоскости (ABD).
5. Прямая WP является линией пересечения (следом) плоскости α с плоскостью грани ABD.
6. Эта прямая WP пересекает ребро AB в некоторой точке. Обозначим эту точку X. Так как $X \in WP$, то $X \in \alpha$. Так как X лежит на ребре AB, это и есть искомая точка пересечения плоскости сечения с ребром AB.
7. Соединим точку X с точкой U (обе лежат в грани ABC). Отрезок XU — последняя сторона сечения.

Искомое сечение — четырехугольник UVWX.

Нахождение отношения, в котором плоскость α разделяет ребро AB

Для нахождения отношения $AX:XB$ воспользуемся теоремой Менелая. Обозначим точку пересечения плоскости α с ребром AB как X.

1. Рассмотрим плоскость грани BCD и треугольник $ \triangle BCD $. Прямая UVP является секущей для этого треугольника (пересекает стороны BC, CD и продолжение стороны BD). По теореме Менелая: $ \frac{BU}{UC} \cdot \frac{CV}{VD} \cdot \frac{DP}{PB} = 1 $

Из условия задачи мы знаем:

• $BU : UC = 1 : 1 \Rightarrow \frac{BU}{UC} = 1$
• $CV : VD = 1 : 2 \Rightarrow \frac{CV}{VD} = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в формулу: $ 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{DP}{PB} = 1 $ Отсюда находим отношение: $ \frac{DP}{PB} = 2 $

2. Теперь рассмотрим плоскость грани ABD и треугольник $ \triangle ABD $. Прямая WXP является секущей для этого треугольника (пересекает стороны DA, AB и продолжение стороны BD). По теореме Менелая: $ \frac{AW}{WD} \cdot \frac{DP}{PB} \cdot \frac{BX}{XA} = 1 $

Из условия задачи мы знаем:

• $DW : WA = 3 : 1 \Rightarrow \frac{AW}{WD} = \frac{1}{3}$

Из предыдущего пункта мы нашли:

• $ \frac{DP}{PB} = 2 $

Подставим известные значения в формулу: $ \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{BX}{XA} = 1 $ $ \frac{2}{3} \cdot \frac{BX}{XA} = 1 $ $ \frac{BX}{XA} = \frac{3}{2} $

Нам нужно найти отношение $AX:XB$, которое является обратным к найденному: $ \frac{AX}{XB} = \frac{2}{3} $

Следовательно, плоскость α разделяет ребро AB в отношении 2:3, считая от вершины A.

Ответ: $AX:XB = 2:3$.