Номер 289, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

289. Имеется четырехугольная пирамида $SABCD$ (рис. 105). Постройте линию пересечения плоскостей $SAB$ и $SCD$.

Рис. 105

Для построения линии пересечения двух плоскостей $(SAB)$ и $(SCD)$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Первая общая точка очевидна из названия плоскостей. Вершина пирамиды $S$ принадлежит как плоскости $(SAB)$, так и плоскости $(SCD)$. Таким образом, $S$ — первая точка линии пересечения.

2. Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Эти прямые лежат в плоскости основания пирамиды $(ABCD)$. Кроме того, прямая $AB$ лежит в плоскости $(SAB)$, а прямая $CD$ — в плоскости $(SCD)$.

Рассмотрим наиболее общий случай, когда прямые $AB$ и $CD$ не параллельны. Поскольку они лежат в одной плоскости $(ABCD)$ и не параллельны, они пересекаются. Построим точку их пересечения, продолжив стороны основания $AB$ и $CD$. Обозначим эту точку как $P$.

Точка $P$ принадлежит прямой $AB$, а значит, принадлежит и плоскости $(SAB)$.
Точка $P$ также принадлежит прямой $CD$, а значит, принадлежит и плоскости $(SCD)$.
Следовательно, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $(SAB)$ и $(SCD)$.

3. Теперь у нас есть две общие точки: $S$ и $P$. Проведя через них прямую, мы получим искомую линию пересечения плоскостей $(SAB)$ и $(SCD)$.

Алгоритм построения:

1. Продолжить прямые, содержащие стороны основания $AB$ и $CD$, до их пересечения. Обозначить точку пересечения буквой $P$.

2. Соединить вершину пирамиды $S$ и полученную точку $P$ прямой линией.

3. Прямая $SP$ является искомой линией пересечения плоскостей $(SAB)$ и $(SCD)$.

Примечание: Если бы в основании пирамиды лежала трапеция или параллелограмм с основаниями $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$), то прямые $AB$ и $CD$ не пересекались бы. В этом случае линия пересечения плоскостей $(SAB)$ и $(SCD)$ была бы прямой, проходящей через точку $S$ параллельно $AB$ и $CD$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через вершину пирамиды $S$ и точку $P$, где $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$, содержащих стороны основания пирамиды.