Номер 283, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

283. Параллелограммы $ABCD$ и $AB_1C_1D_1$ имеют общую вершину (рис. 101). Докажите, что прямые $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны одной плоскости.

Рис. 101

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Выберем общую вершину $A$ в качестве начала отсчета (начала координат). Тогда положение любой точки $X$ в пространстве задается ее радиус-вектором $\vec{AX}$, который для краткости будем обозначать строчной буквой, соответствующей точке: $\vec{x}$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, по правилу параллелограмма для векторов выполняется равенство: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. В принятых нами обозначениях это можно записать так:
$\vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ (1)

Аналогичное векторное равенство справедливо и для параллелограмма $AB_1C_1D_1$: $\vec{AC_1} = \vec{AB_1} + \vec{AD_1}$. В наших обозначениях:
$\vec{c_1} = \vec{b_1} + \vec{d_1}$ (2)

Утверждение, что прямые $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны одной плоскости, эквивалентно утверждению о компланарности их направляющих векторов, то есть векторов $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$. Докажем их компланарность.

Выразим направляющие векторы прямых через радиус-векторы их начальных и конечных точек:
$\vec{BB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AB} = \vec{b_1} - \vec{b}$
$\vec{CC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AC} = \vec{c_1} - \vec{c}$
$\vec{DD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AD} = \vec{d_1} - \vec{d}$

Рассмотрим вектор $\vec{CC_1}$ и подставим в выражение для него равенства (1) и (2):
$\vec{CC_1} = \vec{c_1} - \vec{c} = (\vec{b_1} + \vec{d_1}) - (\vec{b} + \vec{d})$.

Перегруппируем слагаемые в правой части:
$\vec{CC_1} = (\vec{b_1} - \vec{b}) + (\vec{d_1} - \vec{d})$.

Заметив, что $(\vec{b_1} - \vec{b}) = \vec{BB_1}$ и $(\vec{d_1} - \vec{d}) = \vec{DD_1}$, получаем ключевое соотношение:
$\vec{CC_1} = \vec{BB_1} + \vec{DD_1}$.

Полученное равенство означает, что вектор $\vec{CC_1}$ является линейной комбинацией (суммой) векторов $\vec{BB_1}$ и $\vec{DD_1}$. Это является признаком компланарности трех векторов. Таким образом, векторы $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$ компланарны.

Так как направляющие векторы прямых $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ компланарны, то и сами прямые параллельны одной и той же плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны одной плоскости.